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文档简介

函数的极值与导数 3 已知函数f x x3 3x 1 求f x 的单调区间 并画出其草图 函数的极值与导数 复习与思考 2 函数f x 在x 1和x 1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系 1 函数的导数与函数的单调性之间的关系是 2 用导数求函数单调区间的步骤是 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 1 如果在x x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大 即f x f x0 则称f x0 是函数y f x 的一个极大值 记作 y极大值 f x0 函数极值的定义 2 如果在x x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小 即f x f x0 则称f x0 是函数y f x 的一个极小值 记作 y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 x0叫做函数的极值点 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些是极小值点 1 极值是一个局部概念 反映了函数在某一点附近的大小情况 2 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 3 函数的极大 小 值可能不止一个 而且函数的极大值未必大于极小值 关于极值概念的几点说明 4 函数的极值点一定在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 函数y f x 在极值点的导数值为多少 在极值点附近的导数符号有什么规律 问题探究 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法 看极值与导数之间有什么关系 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 f x 0 数学建构 请问如何判断f x0 是极大值或是极小值 左正右负为极大 右正左负为极小 1 如果f x0 0 并且在x0附近的左侧f x 0右侧f x 0 那么f x0 是极大值 函数的极值与导数的关系 2 如果f x0 0 并且在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 1 求导数f x 2 解方程f x 0 3 通过列表检查f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 进而确定函数的极值点与极值 求函数极值的步骤 例 求f x x x 的极值 解 解 当x变化时 y y的变化情况如下表 令y 0 解得x1 2 x2 2 当x 2时 y有极大值且y极大值 17 3当x 2时 y有极小值且y极小值 5 y x2 4 渐入佳境篇 探索 x 0是否为函数f x x3的极值点 若寻找可导函数极值点 可否只由f x 0求得即可 f x 3x2当f x 0时 x 0 而x 0不是该函数的极值点 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点 x0左右侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0 注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 对于可导函数而言 其极值点一定是导数为0的点 反之导数为
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