高考数学二轮复习专题分类讨论思想课件.ppt

2010年高考数学二轮复习专题 分类讨论思想及其应用 一 复习目标 1 理解和掌握分类讨论思想 并能灵活运用 2 强化巩固相关知识和方法 培养和提高学生综合运用能力 二 重难点 分类讨论思想的灵活运用 三 教学方法 讲练结合 探析归纳 强化运用 四 课时安排 共计2课时 五 教学过程 二 双基自测1 从平面外一点p引与平面相交的直线 使得p与交点a的距离等于1 则满足条件的直线条数一定不可能是 a 0条b 1条c 2条d 无数条解析设点p到平面的距离为d 则d 1时 恰有一条 d 1时 不存在 0 d 1时 有无数条 c 一 要点归纳1 分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准进行分类 然后对每一类分别研究得出每一类的结论 最后综合各类结果得到整体问题的解答 实质上 分类与整合是 化整为零 各个击破 再积零为整 的数学解题策略 2 分类原则是 分类的对象确定 标准统一 不重复 不遗漏 分层次 不越级讨论 归纳总结 整合完善 2 函数f x 若f a 1 则实数a的所有可能值组成的集合为 a 1 b 1 c d 1 解析因为当 1 a 0时 sin a2 1 当a 0时 ea 1 1 所以a 1 0 即a 1 综上可知 实数a的所有可能值组成的集合为 1 b 3 已知集合a x m 2 x2 2mx 1 0 b x r 则使成立的实数m的取值范围是 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 1 1 2 解析因为b x r y y 0 令f x m 2 x2 2mx 1 又f 0 1 所以函数f x 的图象恒过定点 0 1 要使 则必满足解之得 2 m 1或 1 m 2或m 2 所以m的取值范围是 2 m 2 a 4 过三棱柱任意两顶点的直线共15条 其中异面直线有 a 18对b 24对c 30对d 36对解析因为侧棱的条数为3 且和每一条侧棱异面的直线条数为4 侧面对角线条数为6 且和每一条侧面对角线异面的直线有5条 两底面边的条数为6 且和每一条边异面的直线有5条 又知直线异面是相互的 所以异面直线共有 3 4 6 5 6 5 36对 d 题型一由数学概念引起的分类讨论 例1 设00 且a 1 比较 loga 1 x 与 loga 1 x 的大小 解因为01 则00 loga 1 x 0 即 loga 1 x loga 1 x 当a 1时 由loga 1 x 0 三 典型例题探析 所以 loga 1 x loga 1 x loga 1 x loga 1 x loga 1 x2 0 即 loga 1 x loga 1 x 由 可知 loga 1 x loga 1 x 探究拓展 在解答该类问题时 首先从概念出发判断出绝对值内的数 或式子 的符号 然后再去掉绝对值符号 这时需按条件进行分类讨论确定 再按照相关的法则去计算 直至得出结论 变式训练1已知函数 满足f c2 1 求常数c的值 2 解不等式f x 解 1 因为0 c 1 所以c2 c 所以c 2 由 1 得 题型二由运算引起的分类讨论 例2 已知函数 1 求f x 的值域 2 设函数g x ax 2 x 2 2 若对于任意x1 2 2 总存在x0 使得g x0 f x1 成立 求实数a的取值范围 解 1 当x 2 1 时 f x x 在 2 1 上是增函数 此时f x 2 2 当a 0时 g x 2 对于任意x1 2 2 不存在x0 2 2 使得g x0 f x1 成立 当a 0时 g x ax 2在 2 2 上是增函数 g x 2a 2 2a 2 任给x1 2 2 若存在x0 2 2 使得g x0 f x1 成立 则 当a 0时 g x ax 2在 2 2 上是减函数 g x 2a 2 2a 2 同理可得综上 实数a的取值范围是 探究拓展 在解答该类问题时 应根据函数g x 中所含的参数a的取值情况进行讨论 得到函数的单调性 从而得出该函数在给定区间上的值域 再依据题意建立不等式组进行求解 得到a的取值范围 变式训练2已知函数f x ex e x 1 证明 函数f x 的导数f x 2 2 若对所有x 0都有f x ax 求实数a的取值范围 1 证明因为函数f x 的导数f x ex e x 又ex e x 当且仅当x 0时 等号成立 所以f x 2 2 解令g x f x ax 则g x f x a ex e x a 若a 2 当x 0时 g x ex e x a 2 a 0 所以函数g x 在区间 0 上为增函数 则x 0时 g x g 0 0 即f x ax 若a 2 方程g x 0的一个正根为此时 若x 0 x1 则g x 0 故函数g x 在区间 0 x1 上为减函数 所以x 0 x1 时 g x g 0 0 即f x ax 与题设f x ax相矛盾 综上可知 满足条件的实数a的取值范围是 2 题型三由定理 公式等引起的分类 例3 设等比数列 an 的公比为q 前n项和sn 0 n 1 2 1 求q的取值范围 2 设bn an 2 an 1 记 bn 的前n项和为tn 试比较sn与tn的大小 解 1 因为 an 是等比数列 sn 0 可得a1 s1 0 q 0 当q 1时 sn na1 0 上式等价于 或 解 式得q 1 解 式 由于n可为奇数 可为偶数 故 1 q 1 q 0 综上 q的取值范围是 1 0 0 又因为sn 0 且 10 所以当 12时 tn sn 0 即tn sn 当 q 2且q 0时 tn sn 0 即tn sn 当q 或q 2时 tn sn 0 即tn sn 探究拓展 等差 等比数列的通项 前n项的和是数列的基础 那么在研究一个数列的通项时 对n 1与n 2要分别予以研究 而涉及等比数列或用错位相减法求解时 要对公比q是否为1进行分类讨论 变式训练3已知在等比数列 an 中 a1 1 sn是其前n项的和 且ak 1 ak 3 ak 2 k n 成等差数列 1 求数列 an 的公比 2 试判断sk 1 sk 3 sk 2 k n 是否也构成等差数列 说明理由 解 1 设等比数列 an 的公比为q 则ak 1 a1qk ak 3 a1qk 2 ak 2 a1qk 1 依题意得2qk 2 qk qk 1 由于qk 0 所以2q2 q 1 0 解得q 1或q 2 当q 1时 sk 1 k 1 a1 k 1 sk 3 k 3 sk 2 k 2 显然sk 1 sk 2 k 1 k 2 2k 3 2sk 3 故sk 1 sk 3 sk 2不能构成等差数列 所以sk 1 sk 3 sk 2能构成等差数列 综上所述 当q 1时 sk 1 sk 3 sk 2不能构成等差数列 当q 时 sk 1 sk 3 sk 2能构成等差数列 题型四由参数变化引起的分类讨论 例4 已知m r 求函数f x 4 3m x2 2x m在区间 0 1 上的最大值 解 1 当4 3m 0时 即m 时 函数y 2x 它在 0 1 上是减函数 所以f x max f 0 2 当4 3m 0 即时 f x 是二次函数 若4 3m 0 即时 二次函数f x 的图象开口向上 对称轴 它在 0 1 的最大值只能在区间端点取得 f 0 m f 1 2 2m 当m 2 2m 又m时 二次函数f x 的图象开口向下 又它的对称轴方程 所以函数f x 在 0 1 上是减函数 于是f x max f 0 m 由 1 2 可知 这个函数的最大值为 探究拓展 在解答该类问题时 应根据条件首先确定函数的属性 即分成两类这是一级分类 然后对时 按照抛物线的开口方向分成两类 这是二级分类 最后在中 比较f 0 f 1 的大小关系 又分成两类 这是三级分类 每次分类都有一个标准 要做到不重不漏 变式训练4已知函数 a b为常数 且方程f x x 12 0有两个实根为x1 3 x2 4 1 求函数f x 的解析式 2 设k 1 解关于x的不等式 解 1 将x1 3 x2 4分别代入方程解之得 2 不等式即为即 x 2 x 1 x k 0 当12时 解集为 1 2 k 四 经典考题赏析 考题再现 已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 解题示范 解 1 f x x ax 2 eax 2分 当a 0时 令f x 0 得x 0 若x 0 则f x 0 从而f x 在 0 上单调递增 若x 0 则f x 0 从而f x 在 0 上单调递减 4分 当a 0时 令f x 0 得x ax 2 0 故x 0或x 5分若x 0 则f x 0 从而f x 在 0 上单调递减 6分7分8分 2 当a 0时 f x 在区间 0 1 上的最大值是f 1 1 9分 当 2 a 0时 f x 在区间 0 1 上的最大值是f 1 ea 10分 当a 2时 f x 在区间 0 1 上的最大值是11分综上所述 当a 0时 f x max 1 当 2 a 0时 f x max ea当a 2时 f x max 12分 五 思想方法小结分类讨论并不是凭空产生的 有着它出现的原因 这个原因就是我们分类的标准和依据 一般来说 可以归纳为以下几点 1 涉及的数学概念是分类定义的 2 运算有关的公式 运算性质与法则是分类给出的 3 由题中所给的限制条件或研究对象的性质而引发的 4 数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的 5 涉及的几何图形的形状 位置的变化而引起的 6 有实际问题的实际意义引起的 7 复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的 在运用分类讨论问题时 我们要明确分类的原因是什么 对象是什么 分几个类别 不仅要掌握分类的原则 而且要把握分类的时机 重视分类的合理性与完整性 六 知能提升演练一 选择题1 不等式的解集是 a x 2 x 2 b c x 2 x 0或0 x 2 d 解析 当x 0时 原不等式等价于 所以0 x 2 当x 0时 原不等式等价于即 解集为答案b 2 若不等式x2 ax 1 0对于一切x 0 成立 则a最小值是 a 0b 2c d 3解析 c 3 设函数 则当a b时 的值应为 a a b b c a b中较小的数d a b中较大的数解析 当a b时 a b 0 则f a b 1 所以 当a b时 a b 0 则f a b 1 所以 d 4 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形 则它的体积为 a b c d 解析分侧面矩形长 宽分别为6和4或4和6两种情况 d 5 设函数 集合m x f x 0 若 则实数a的取值范围是 a 1 b 0 1 c 1 d 1 解析因为 由f x 1时 m x 10 得a 1 p x x 1 又 故a 1 c 6 在正四面体的一个顶点处 有一只蚂蚁每一次都以的概率从一个顶点爬到另一个顶点 那么它爬行了4次又回到起点的概率是 a b c d 解析若4次爬行了一条棱的概率为 若4次爬行了两条棱的概率为 若4次爬行了四条棱的概率为 b 二 填空题7 设01 即a2x 2ax 3 0 则 ax 3 ax 1 0 所以ax 3或ax 1 舍 即x loga3 loga3 8 双曲线 mn 0 的离心率为2 则的值为 解析 当m 0 n 0时 e 解之得 当m 0 n 0时 e 解之得 综上 可得 9 已知开口向上的二次函数f x 对一切实数x都有f 2 x f 2 x 成立 设向量a x 2 2x 1 1 b 1 2 则不等式f a b f 5 的解集为 解析由f 2 x f 2 x 知 开口向上的二次函数f x 的对称轴为直线x 2 又因为f a b f 5 所以a b 5或a b5 即 x 2 2x 1 3 当x 2时 原不等式解集为 x x 2 当时 原不等式的解集为 x 2 x 0 当时 原不等式的解集为 综上可知 原不等式解集为 答案 10 函数f x ax3 3x 1对于x 1 1 总有f x 0成立 则a 解析若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0可化为 设 所以g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 因此 从而a 4 当x 0即x 1 0 时 f x ax3 3x 1 0可化为在区间 1 0 上单调递增 因此g x min g 1 4 从而a 4 综上a 4 答案4 三 解答题11 设函数f x ax2 bx c a 0 曲线y f x 通过点 0 2a 3 且在点 1 f 1 处的切线垂直于y轴 1 用a分别表示b和c 2 当bc取得最小值时 求函数g x f x ex的单调区间 解 1 因为f x ax2 bx c 所以f x 2ax b 又因为曲线y f x 通过点 0 2a 3 故f 0 2a 3 而f 0 c 从而c 2a 3 又曲线y f x 在 1 f 1 处的切线垂直于y轴 故f 1 0 即 2a b 0 因此b 2a 所以g x f x e x 所以g x f x f x e x 令g x 0 解得x1 2 x2 2 当x 2 时 g x 0 故g x 在x 2 上为减函数 当x 2 2 时 g x 0 故g x 在x 2 2 上为增函数 当x 2 时 g x 0 故g x 在x 2 上为减函数 由此可见 函数g x 的单调递减区间为 2 和 2 单调递增区间为 2 2 12 设函数 1 求f x 的单调区间和极值 2 是否存在实数