十字相乘法与分组分解法习题课

十字相乘法与分组分解法习题课【知识内容】1. 十字相乘法分解因式（1） ）首项系数是1 的二次三项式的因式分（2） ）二次项系数不为1 的二次三项式的因式分解（3） ）含有两个字母的二次三项式的因式分解2. 分组分解法分解因式如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。精品资料【典型例题】例 1分解因式：1 x234 x73分析： 当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。1 x2解：34 x731x234 x211x7x33x2例 2 分解因式：29 xy100 y 2分析： 含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y 看成是常数。2解 ： x29 xy2100 y2x29y x2100 yx4 yx25y2例 3分解因式：3x11x10分析： 首项系数为3 应分解为13 ，常数项为10 是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：11310110313(1)1(10)131(1)3(10)31121535321(5)3(2 )111(2)3(5)17其中符合对角两数之积的和为11的只有第三个。3x解：211x10x23x5例 4因式分解：x26x7分析： 这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后， 便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一x26x72x3x26x16997x34x34xx 26x7方法二：7x1x7x1x7x1小结： 方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1 ，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一 次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例 5 分解因式：2（1 ） 2 x2xy3x3y （2 ） a2b24a4b4 x2（3 ）9 y224 yz16z2x3x 2x1（ 4）（1） ）分析： 首先注意到前两项的公因式2x 和后两项的公因式3 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式xy ，可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y 的项分在一组。2解法 1 ： 2 x2 xy3x23y解法 2 ： 2 x2xy3x3y2x 22 xy3x3y2x 23x2 xy3y2 x xy3 xyx 2 x3y 2 x3xy2 x32x3xy说明： 解法 1 和解法 2 虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1 ：1 和 2：（ -3 ），这也是分组中必须遵循的规律之一。a4aa a2（2） ）分析：若将此题按上题中法 （二）方法分组将含有a 的项分在一组即4 ，bb24bb b含有的项一组即4 ， 那 a a4与b b4 再没有公因式可提，不22可再分解下去。可先将ab 一组应用平方差公式，再提出因式。2解 ： ab24a4ba 2b 24 a4babababab4 ab44 x2（ 3 ）分析：若将此题应用（2 ）题方法分组将29 y一组应用平方差公式，或者将4x 216z2 一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。4 x9 y解：2224 yz16z24x 29 y224 yz16z2222 x3y4z2 x3y4 z2 x3y4 z（4 ）分析： 此题按照系数比为1 或 者为1，可以有不同的分组方法。解 法 1 ： x 3x23xx1解法 2 ： 原式xx 21x3x2x1x 2 x1x1x1x21x x 21x21x21x1x1xx1x1x121x1xx1x1x121说明： 分组时，不仅要注意各项的系数， 还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解， 若分组后可直接提取公因式， 一般将四项式两项两项分成两组， 并在各组提公因式后， 它们的另一个因式恰好相同， 在组与组之间仍有公因式可提，如例 5（ 1 ）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例 5 的（ 2 ）题、（ 4 ）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5 中的（ 3 ）题。ab c2d 2例 6分解因式：cd a2b 2分析： 多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。ab c2解：d 2abc2cd a 2abd 2b 2a2 cdb2 cdabc2a 2 cdabd 2b2 cdac bcadbd adbc bcadacbd4x2例 7已知4 xyy 24x2 y2102 x，求证：3xyy 2xy0分析： 要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式。若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零。经过分组分解，2 x可知23xyy2xyxy2 xy1 ， 若 xy 或 2xy1 为零，则原多项式的值为零。为达此目的，就要从条件入手。4 x2证明： 因为4xyy 24 x2 y210 ，所以2xy2 2xy1022xy10所以 2xy102 x2又因为3xyy2xyxy2 xy1而 2 xy102 x所以23xyy2xy03x2例 8已知4 xy7 y 213x37 ym 能分解成两个一次因式的乘积，求m 的值。并将此多项式分解因式。分析：根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式，而 原 多 项 式 的 前 三 项 可 分 解 为3x7 yxy， 于 是 可 设 原 多 项 式 分 解 为3x7 yaxyb ，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。3x2解： 设4 xy7 y 213x37 ym3x7 yaxyb3x 24 xy7 y 2a3b xa7b yaba3ba7b131372对应项系数相等，所以abm3解得： a2， b5m10所 以 3x13x37ym3x 23x4 xy 7ya7 y2x13x37 y10yb3x7y2xy524 xy7 y 2例 9已 知 x3y1x 24 y24 xy ，求 x 与 y 的值。分析： 在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。本题已有一个明显的非负数，即x3y1 ，而另一个非负数可由因式分解得到。于是问题能够解决。解： 因为 x3 y1x24 y 24 xy，所以x3y1x 24 xy4 y20即 x3y12x2y0x所以x3y102 y0解这个方程组，得：x2， y1【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）一. 选择题21. 用分组分解法分解多项式xmxnxmn分组正确的是（）x 2a.2c.xmxnxmn mnmxnxa 2b 2bx 2b.2d.x1mxnxmnnxmxmn2. 用分组分解法分解多项式4 ，分组正确的是（）a 2b 2a.a 2b2b1a 24b.b1a 21b 2b 4b 2b1c.4d.422223. 将多项式a bab1分解因式，其中正确的是（）a. ab2c.a1ab21ba 21b .1 d.a1b211a1b1b14. 下列因式分解中，不正确的是（）x 416y 4a.x2 yx2 yx 24 y 2b. axaybxbyabxy22c. 1ab2ab1ab1ab22d. 1x2 xyy 2xy1xy12 xyx25. 把多项式y1 分解因式的结果是（）a. xy1yx1b.xy1yx1c.xy1xy1d.xy1xy1二. 填空题x1.22xy2 x7 x22.35y 2x7 y15x53.1y20 y 2x3xyxyx4 y28 y2x7 yx4 y24.x25.6.kx25x63x2， k 。7.18x 219x59 xm2 xn ， 则 m ， n 。三. 分解因式2（1 ） 2 x5x3（2 ） 5x 221x18（3） ） a 25ab24b 2（4） ）xy（5 ） 3x422 xy246x 29x2（6 ）22（7） ） a b2 xyy 212a2ab1（8） ） x 2y 2z22 xy（9） ）aba bc2bc（10 ） x 35x6四. 解答题x21. 已知2 xy3 y25 ，求整数x 和 y 的值。2. 已知 ax2x3x4x549 （ x 为整数），求证：a 为一个完全平方数。【参考大暗暗答案】一. 选择题1. d2. c3. d4. d5. a二. 填空题x 21.2xy35y 2x7 yx5y2 x7 x15x2.252 x33.1y20y 25y1 4 y1x 23xy4.4 y 2xyx4 y3x 2xy5.28y 2x7 yx4y6.kx 25x63 x22 x3 ， k67.18x219 x59xm2 xm ， 则 m5， n1三. 分解因式（ 1）2 x1x3（ 2） 5x6x3（ 3）a3ba8b（ 4）xy6xy42（ 5） 3 x3x1x1（ 6）xy1xy1（ 7）ab1aab1a（ 8）xyzxyz（ 9）abcabc（ 10）x1x 2x6四. 解答题 x21. 解：2 xy3