《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

;.得分?复变函数与积分变换?期末试题（ a ）一填空题（每小题3 分，共计 15 分）;.1 1i23 的幅角是（）； 2.ln (1i ) 的主值是（）； 3.f ( z)11z2 ，f ( 5) (0)（）；4 z0 是zsin z z的（） 极点 ； 5 f (z)1 ，z4resf ( z),（）；得分二选择题（每小题3 分，共计 15 分）1. 解析函数f (z)u( x, y)iv ( x,y) 的导函数为（）；（a）（c）f( z)f( z)uxiu yuxiv y； （b） f； （d） f( z)( z)uxiu y ；u yiv x .2. c是正向圆周 z3 ，如果函数f (z)（），则f ( z)dz0c（a）3；（b） 3(zz2z1) ； （ c）23( z(z1)2) 2； （ d）( z3.2)23. 如果级数czn 在 znn 12 点收敛，则级数在（ a） z2 点条件收敛；（b）z2i点绝对收敛；（ c） z1i 点绝对收敛；（ d） z12i点一定发散下列结论正确的是 ()（a） 如果函数f ( z) 在z0 点可导，则f ( z) 在z0 点一定解析；(b)如果f (z) 在 c所围成的区域内解析，则f ( z)dz0c（c） ）如果f (z)dzc0 ，则函数f ( z) 在 c所围成的区域内一定解析；（d） ）函数f ( z)u( x, y)iv ( x,y) 在区域内解析的充分必要条件是u( x,y) 、 v( x,y) 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（）(a)为sin1 的可去奇点； (b)z为sinz的本性奇点；为1的孤立奇点 ;为1的孤立奇点 .(c)sin 1z(d)sin z得分三按要求完成下列各题（每小题10 分，共计 40 分）（ 1）设f ( z)x 2axyby 2i (cx 2dxyy 2 )是解析函数， 求 a, b,c, d.（ 2）计算edz 其中 c是正向圆周：z2 ；zc z( z1) 2（ 3）计算zz153 (1z 2 ) 2 (2z4 )3 dz（ 4）函数f ( z)z( z21)( z(sin2)3 ( zz) 33) 2在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.得分四、（本题 14 分）将函数f (z)1z2 ( z在以下区域内展开成罗 朗级数；1)（ 1） 0z11，（2） 0z1 ，（3） 1z得分五（本题 10 分）用 laplace 变换求解常微分方程定解问题y ( x)5 y ( x)4 y( x)e xy(0)y (0)1得分六、（本题 6 分）求cos2f (t)dt2et (2e0) 的傅立叶变换，并由此证明：t0?复变函数与积分变换?期末试题（a ）答案及评分标准一填空题（每小题3 分，共计 15 分）1 1i23 的 幅角 是（2k, k30,1,2）； 2.ln(1i ) 的主 值是（1 ln 22zsin z3i）； 3.4f ( z)11z2 ，f (5 )1(0)（ 0），4 z0 是z4的（一级）极点；5f (z)，reszf ( z),（-1）；二选择题（每题3 分，共 15 分）1-5bdcbd三按要求完成下列各题（每小题10 分，共 40 分）（ 1 ） 设a,b, c, d.f ( z)x2axyby 2i( cx2dxyy 2 )是 解 析 函 数 ， 求解：因为f ( z) 解析，由 c-r 条件uvxy2xayuvyxdx2 y ax2by2cxdy,a2, d2, ， a2c,2bd, c1, b1,给出 c-r 条件 6 分，正确求导给2 分，结果正确 2 分。（ 2）计算c (zez21) zdz 其中 c是正向圆周：解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 仅给出用前者计算过程zez0,z1z , z因为函数f (z)(z1) 2在复平面内只有两个奇点1z2，分别以12为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆c1 ,c2且 位 于c内c ( zez1) 2 z dzez( z1) 2dzc 1zc2 ( zezzdz1) 2z2i ( e)zz 1ezz 02i ( z1)22i无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（ 3）z 3 (1z15 z 2 ) 2 (2z4 )3 dz解：设f (z) 在有限复平面内所有奇点均在：z3 内，由留数定理z 3 (1z15 z2 ) 2 (2z4 ) 3 dz2 i res f( z),-（5 分）2 i resf ( 1 ) 1 zz2-（8 分）2f ( 1) 1( 1)15z1112zz(111) 2 ( 2z21()4 )3 zzf ()2zzz(1z2 ) 2(2 z41)3有唯一的孤立奇点z0,re s f( 1 )1 ,0limzf ( 1 ) 1lim12243122zzz0zzz15z0(1z )(2 z1)z3 (1z2 ) 2 (2z4 ) 3 dz2i-（10 分）（ 4）函数f ( z)z( z21)( z2)3( z3) 2在扩充复平面上有什么类型的奇(sinz)3点？，如果有极点，请指出它的级.解：f ( z)z( z21)( z2)3 ( z33) 2的奇点为 zk, k0,1,2,3,，(sinz)（1） ） zk, k0,1,2,3,为（ sinz）30的三级零点，（2） ） z0， z1,为f( z)的二级极点，z2是f( z)的可去奇点，（3） ） z3为 f( z)的一级极点，（4） ） z2,3,4，为 f( z)的三级极点；（5） ）为 f ( z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5 分 ，其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数f (z)12z ( z在以下区域内展开成罗 朗级数；1)（ 1） 0z11 ，（ 2） 0z1 ，（ 3） 1z解：（ 1）当 0z11f ( z)1z2 ( z1)11( z1)( z11)1而 ( z11) (1) n (zn 01) n (1) n n( zn 01) n 1f ( z)(1)nn 01 n( z1) n 2-6分（2） 当 0z1f ( z)1z2 ( z1)1z2 (1z) =1zn2zn 0zn 2n 0-10分（3） 当 1zf ( z)f ( z)1z2 ( z1)31( 1 )n1z3 (11)zz1n 3-14分每步可以酌情给分。zn 0zn 0五（本题 10 分）用 laplace 变换求解常微分方程定解问题：y ( x)5 y ( x)4y( x)exy(0)1y (0)1解：对y(x) 的 laplace 变换记做l( s)，依据 laplace 变换性质有整理得s2 l( s)s15(sl(s)1)4l( s)1s1（ 5 分）l (s)(s1)( s1111)( s4)s1111（ 7 分）10( s1)110( s1)6(s1)56(s1)15( s4)s1115( s4)y( x)1 e x105 ex61 e4x15（ 10 分）六、（ 6 分）求f (t)et (0) 的傅立叶变换，并由此证明：dcostt222e0解： f ()e i t etdt(0)-3分f ()0 e it e tdte i t e0t dt(0)0 e(i) tdte (i0) tdt(0)0e(i)te (if ()1i) ti01(0)2(0)-4分f (t)12i12ei tieit f (222 d22)d(0)0) -5分122 (costi sint )d(0)d2costi022sint22(0)d2f ( t )cos td022(0) ，-6分costdt22e02?复变函数与积分变换?期末试题（ b)一填空题（每小题3 分，共计 15 分）二 11i 的幅角是（）；2.2ln(i ) 的主值是（） ； 3.a= （） ，f ( z)x 22xyy 2i( ax22xyy 2 )在 复 平 面 内 处 处 解z0zsin zf ( z)1析 4是z3的（）极点； 5z ，resf ( z),（）；二选择题（每小题3 分，共计 15 分）1. 解析函数f ( z)u( x, y)iv ( x,y) 的导函数为（）；（a） f( z)u yiv x ； （b） f( z)uxiu y ；（c） f( z)uxiv y； （d） f( z)uxiu y .2. c是正向圆周 z2 ，如果函数f ( z)（），则f ( z) dz0c（a）3；（ b）3 z； （c）3 z； （ d）3.z1z1( z1)2(z1)23. 如果级数c znnn 1在z2i点收敛，则级数在（ a） z2点条件收敛；（b）z2i点绝对收敛；（ c） z1i 点绝对收敛；（d） z12i点一定发散下列结论正确的是 ()（a）如果函数f (z) 在 z0 点可导，则f ( z) 在z0 点一定解析；(b)如果cf ( z) dz0 , 其中 c复平面内正向封闭曲线,则 f ( z) 在 c所围成的区域内一定解析；（c）函数 f (z) 在 z0 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为 zz0 的幂级数，而且展开式是唯一的；（ d）函数 f (z)u( x, y)iv ( x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u( x, y) 、v( x, y) 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ a）、nzl是复平面上的多值函数；）( b)、cosz是无界函数；(c)、sin z是复平面上的有界函数； （d）、 ez 是周期函数得分三按要求完成下列各题（每小题8 分，共计 50 分）（ 1 ） 设f ( z)u( x, y)i( x 2g( y)是 解 析函 数 ， 且f (0)0 ， 求g( y), u( x, y), f ( z) （ 2）计算c ( z2z1)( zi )2dz 其中 c是正向圆周z2 ；（ 3）计算z21c (1z)ez dz ，其中 c是正向圆周z2 ；（ 4）利用留数计算c ( z11)( z2) 2dz其中 c是正向圆周 z3 ；（ 5）函数f ( z)z( z21)( z32)3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sinz)有极点，请指出它的级 .得分四、（本题 12 分）将函数数；f ( z)1z 2 ( z1) 在以下区域内展开成罗 朗级（ 1） 0z11 ，（2） 0z1 ，（3） 1z得分五（本题 10 分）用 laplace 变换求解常微分方程定解问题y ( x)y(0)5 y ( x)y (0)4 y( x)ex1得分六、（本题 8 分）求f (t)et (0) 的傅立叶变换，并由此证明：dcostt222e0得分?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（b）一填空题（每小题3 分，共计 15 分）1.1 1i 的幅角是（22k, k401,2,）；2.ln(1i ) 的主值是（1ln 2i24）； 3.f (z)11z2 ，f ( 7) (0)（ 0）；4. f(z)zsin z z3， re sf ( z),0（ 0）；5f ( z)1，2zresf ( z),（0）；得分二选择题（每小题3 分，共计 15 分）1-5aaccc得分三按要求完成下列各题（每小题10 分，共计 40 分）（ 1）求a,b,c, d 使f ( z)x 2axyby 2i (cx 2dxyy 2 )是解析函数，解：因为f ( z) 解析，由 c-r 条件uvxy2xayuvyxdx2 y ax2by2cxdy,a2, d2, ， a2c,2bd, c1, b1,给出 c-r 条件 6 分，正确求导给2 分，结果正确 2 分。（ 2） c1z( z1) 2dz 其中 c是正向圆周 z2 ；解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数f (z)1(z1) 2 z在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1, z2为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆c1 ,c2且 位 于c内21dz1( z1) 2dz12zdzc ( z1)z1c 1z1c2 ( z1)2i ()zz 12i20( z1)z 0（ 3）计算1z3ezdz，其中 c是正向圆周 z2 ；c (1z)解：设f (z) 在有限复平面内所有奇点均在：z2 内，由留数定理f (z)dzz22i re sf ( z),2ic 1-（5 分）1z1z3 ez1z2ez2111111(1z)( z2z(111zzz1112! z2)(113! z31)(123)zzz1)c 1(12!3! z111 )2!3!4! z283zz2z3f (z)dzz28 2i3（ 4）函数f ( z)(z21)( z2) 33在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinz)极点，请指出它的级 .f ( z)的奇点为 zk, k0,1,2,3,，zk, k0,1,2,3,为（ sinz）30的三级零点，z1,为f( z)的二级极点，z2是f(z) )的可去奇点，z0,2,3,4，为f( z)的三级极点；为f ( z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。得分四、（本题 14 分）将函数f (z)1z2 (z1) 在以下区域内展开成罗朗级数；（ 1） 0z11，（ 2） 0z1 ，（3） 1z（ 1） 0z11 ，（ 2） 0z1 ，（ 3） 1z解：