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6 2几何平均数与算术平均数 第二课时 利用均值不等式求最值 引入 请同学们帮我女儿解决这样一个难题 上周末 我女儿的数学老师布置了一个家庭作业 用20厘米长的铁丝制作一个矩形 并猜测怎样设计长和宽才能使做出的矩形的面积最大 我女儿做了如下几种情况的矩形 1 2 3 1 长为8 宽为2 3 长为6 宽为4 于是她就猜想出结果 矩形面积最大值为24 2 长为7 宽为3 即x y 10 因面积P xy 由基本不等式得x y 2 即P xy 25 定值 9162125 xy 在周长给定后 长x和宽y的和x y不变 定值 但长和宽还可以在一定范围内变化 这样面积也在变 面积xy的取值构成一个集合 但集合中每个元素的数值不超过25 且在x y 5时 即是正方形时面积等于25 所以面积的最大值为25 例1 已知x y都是正数 1 如果和x y是定值S 积xy有 最大值 那么当x y时 2 如果积xy是定值P 那么当x y时 和x y有最小值2 在两个证明中的关键步骤和都出现一端是定值 限定了另一端的变化的范围 这是用不等式求最值的重要依据 求证 例1 例2 判断正误 1 函数y x 的最小值为2 2 已知1 x 3 2 y 4 则当x y 3时 xy有最大值9 3 函数y 的最小值为2 利用均值不等式求最值应注意三点 条件 或目标 式中各项必须都是正数 目标式中含变数的各项的和或积必须是定值 常数 等号成立的条件必须存在 例题1的变式 例题3 1 已知m n都是正数 且2m n 3 求mn的最大值 2 若正数x y满足6x 5y 18 求xy的最大值 目标式 练习1 1 已知y x 1 x 0 x 1 求y的最大值 练习2 1 求函数y x 值域 2 y x 1 2x 0 x 求y的最大值 2 求函数y x 值域 例题1的变式 课堂小结 利用均值不等式求最值应具备三个条件 简单概括就是三个字 正 定 等 正 两项必须都是正数 定 求两项和的最小值 它们的积应为定值 求两项积的最大值 它们的和应为定值 等 等号成立的条件必须存在 作业4 5 6 7补充练习1 已知a b是实数 且a b 4 求2a 2b的最小值2 求函数y x 的值域3 已知a
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