3.1导数的概念(2)

3 1导数的概念 第2课时 2020年4月16日星期四 一 导数的概念 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 二 函数在一区间上的导数 即 2 这时 对于开区间 a b 内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数值这样就在开区间 a b 内构成了一个新的函数 把这一新函数叫做f x 在开区间 a b 内的导函数 简称为导数 记作 1 如果函数在开区间 a b 内每一点都可导 就说f x 在开区间 a b 内可导 f x0 与f x 之间的关系 如果函数y f x 在点x0处可导 那么函数y f x 在点X0处连续 当x0 a b 时 函数y f x 在点x0处的导数f x0 等于函数f x 在开区间 a b 内的导数在点x0处的函数值 切线方程为 三 导数的几何意义 例1 已知曲线上一点 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 例2 已知曲线上一点 求点P处的切线方程 例3 判断下列各命题的真假 1 已知函数y f x 的图象上的点列P1 P2 P3 Pn 则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数 2 若物体的运动规律是S f t 则物体在时刻t0的瞬时速度V等于 3 若函数y f x 的定义域为A 则对任一只要函数在x0处连续 则就必存在 4 设是函数y f x 的图象上的三点 且函数在P1 P2 P3三点处的导数均存在 若 则必有 例4 设函数f x 在点x0处可导 求下列各极限值 注意 在导数定义中 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 练习1 设函数f x 在点x0处可导 求下列各极限值 练习2 设函数f x 在点x a处可导 试用a f a 和 例5 证明 1 可导的偶函数的导函数为奇函数 2 可导的奇函数的导函数为偶函数 证 1 设偶函数f x 则有f x f x 2 略 例6 判断函数y 3x 1 在x 1 3处是否可导 从而函数y 3x 1 在x 1 3处不可导 注 这是一个函数在某点连续但不可导的例子 练习3 函数f x x 1 x 在点x0 0处是否有导数 若有 求出来 若没有 说明理由 小结 1 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念 用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态 2 要切实掌握求导数的三个步骤 1 求函数的增量 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 3 弄清 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数 3 如果函数y f x 在开区间 a b 内每一点都可导 就说函数y f x 在开区间 a b 内可导 这时 对于开区间内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数 这样就在开区间 a b 内可构成一个新的函数 称作f x 的导函数 4 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 4 函数f x 在点x0处有导数 则在该点处函数f x 的曲线必有切线 且导数值是该切线的斜率 但函数f x 的曲线在点x0处有切线 而函数f x 在该点处不一定可导 如函数在x 0处有切