47课题：双曲线.doc

2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/12/2课题：双曲线 一、考点梳理：1双曲线的定义: 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.注意：1双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a0，b0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同3注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.5待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线1共渐近线的可设为(0)；(2)若渐近线方程为yx，则可设为(0)；(3)若过两个已知点则设为1(mn0，b0)的一条渐近线的斜率为 .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小二、基础自测：1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线( )(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线( )(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( )2. 双曲线y2x22的渐近线方程是()Ayx Byx Cyx Dy2x3已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.14.双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.5.已知F(c,0)是双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(xc)2y2c2相切，则双曲线C的离心率为_三、考点突破：考点一、双曲线的定义及标准方程【例1】(1)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_(2) 已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为 (3)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_ 类题通法1应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用2求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混考点二、渐近线与离心率问题【例2】1已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx Byx Cyx Dyx2设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.4已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1， C(，) D，)类题通法解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分m或m讨论(2)注意数形结合思想在处理渐近线，离心率范围求法中的应用考点三、直线与双曲线的位置关系【例3】若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值类题通法1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2与中点有关的问题常用点差法注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 四、课堂检测： 1若双曲线1 的离心率为，则其渐近线方程为()A. y2x Byx C. yx D. yx2.与椭圆C：1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为()Ax21 By22x21 C.1 D.x213. 双曲线1的两条渐近线的方程为_4. 设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标五、课后巩固1设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5 B6 C7 D92(13四川)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B. C1 D.3双曲线x2my21的实轴长是虚轴长的2倍，则m()A. B. C2 D44已知P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为()A5 B6 C7 D85已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)6(2013陕西高考) 双曲线1的离心率为，则m等于_7设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_8已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)若点M(3，m)在双曲线上，(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求F1MF2的面积 课题：双曲线 一、考点梳理：1双曲线的定义: 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.注意：1双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a0，b0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)； 若ab0，则双曲线的离心率e；若0ab，则双曲线的离心率e.3注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.5待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线1共渐近线的可设为(0)；(2)若渐近线方程为yx，则可设为(0)；(3)若过两个已知点则设为1(mn0，b0)的一条渐近线的斜率为 .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小二、基础自测：1. 双曲线y2x22的渐近线方程是()Ayx Byx Cyx Dy2x解：选A由题意知1，yx.2已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解：选A由已知可得双曲线的焦距2c10，a2b25225，排除C，D，又由渐近线方程为yxx，得，解得a220，b25.3.双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.解：C双曲线y21的渐近线方程为y，即x2y0，所以双曲线的顶点(2,0)到其渐近线距离为.4.已知F(c,0)是双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(xc)2y2c2相切，则双曲线C的离心率为_解：依题意得，圆心F(c,0)到渐近线的距离等于c，即有bc(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c22b22(c2a2)，c22a2，即双曲线C的离心率为.答案：三、考点突破：考点一、双曲线的定义及标准方程【例1】1设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8 C24 D48解析：C双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|2510.据题意和双曲线的定义知，2|PF1|PF2|PF2|PF2|PF2|，|PF2|6，|PF1|8.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1PF2，SPF1F2|PF1|PF2|6824.2已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4 C.2 D.2解析：选C|AP|AF2|AP|AF1| 2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1| 2a2.3(2013广东)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1 C.1 D.1解析：选B由题意可知c3，a2，b，故双曲线的方程为1. 类题通法1应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用2求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混考点二、渐近线与离心率问题双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有：1.已知离心率求渐近线方程； 2.已知渐近线求离心率；3.已知离心率确定渐近线夹角问题； 4.利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.【例2】角度一已知离心率求渐近线方程1(2013新课标卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx Byx Cyx Dyx解析：选Ce21，yx.角度二已知渐近线求离心率2设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.解：选D设双曲线的一条渐近线方程为ykx，由题可知这条直线与抛物线yx21相切，联立整理得x2kx10，则k240，解得k2，即2，故双曲线的离心率e .角度三由离心率研究渐近线夹角问题3已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是_解：e，e22，即2，又c2a2b2，1, 即1，一条渐近线与实轴所成锐角的值是.角度四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1， C(，) D，)解析：选C双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e . 类题通法解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分m或m讨论(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用考点三、直线与双曲线的位置关系【例3】若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.(2)由得x1x2，x1x2，|AB|2 6，整理得28k455k2250，k2或k2.又1k，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.设C(x3，y3)，由 m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)点C是双曲线上一点，80m264m21，得m.故k，m. 类题通法1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2与中点有关的问题常用点差法注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 四、课堂检测： 1(2013北京)若双曲线1 的离心率为，则其渐近线方程为()A. y2x Byx C. yx D. yx解：选B在双曲线中离心率e ，可得，故所求的双曲线的渐近线方程是yx.2.与椭圆C：1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为()Ax21 By22x21 C.1 D.x21解C椭圆1的焦点坐标为(0，2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为1(m0，n0)，则解得mn2，故选C.3. (2013江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析：令0，解得yx.答案：yx4. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2.过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2.F1(2，0)，F2(2，0)kMF1，kMF2. kMF1kMF2. 点(3，m)在双曲线上，9m26，m23. 故kMF1kMF21.MF1MF2. 0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M点在双曲线上，9m26，即m230.0.(3)F1MF2的底|F1F2|4， F1MF2的高h|m|，SF1MF26.五、课后巩固1设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3