《七 曲线的性质和轨迹问题》.

专题七曲线的性质和轨迹问题 考点搜索 考点搜索 1 掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质 2 求曲线的方程的常见方法 待定系数法 即先确定方程的形式 再确定方程的系数 定义法 即根据已知条件 建立坐标系 列出x和y的等量关系 化简关系 代入法 参数法 课前导引 课前导引 1 已知F1 F2是双曲线的两焦点 以线段F1F2为边作正三角形MF1F2 若边MF1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率是 解析 设的中点为P 依题意 解析 设的中点为P 依题意 答案 D 2 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设A B为两个定点 k为非零常数 则动点P的轨迹为双曲线 过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB O为坐标原点 若则动点P的轨迹为椭圆 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 双曲线相同的焦点 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 解析 的轨迹可能是双曲线的一支 也可能是一条射线 也可能无轨迹 的轨迹是圆 计算知 正确 链接高考 链接高考 例1 1 设椭圆的离心率为 证明 2 证明 3 设求椭圆的方程 解析 另 由ab c2知 2 由 1 有 故所求椭圆的方程为 故所求椭圆的方程为 说明 本题采用了待定系数法求轨迹方程 例2 在 ABC中 已知B 3 0 C 3 0 的垂心H分有向线段所成的比为 1 分别求出点A和点H的轨迹方程 解答 设H点的坐标为 x y 对应的A的坐标为 x1 y1 则D的坐标为 x1 0 由H分有向线段 此即点H的轨迹方程 2 由 1 可知 P Q分别为椭圆的左右焦点 设H x y 且数列 则 说明 本题采用了代入法求轨迹方程 例3 如图 设抛物线的焦点为F 动点P在直线上运动 过P作抛物线C的两条切线PA PB 且与抛物线C分别相切于A B两点 1 求 APB的重心G的轨迹方程 2 证明 PFA PFB 解答 1 设切点A B坐标分别为 所以 APB的重心G的坐标为 由于P点在抛物线外 AFP PFB 方法2 所以d1 d2 即得 AFP PFB 所以P点到直线AF的距离为 同理可得到P点到直线BF的距离 因此由d1 d2 可得到 AFP PFB 同理可得到P点到直线BF的距离 因此由d1 d2 可得到 AFP PFB 说明 本题采用了代入法求轨迹方程 例4 如右图 已知 A x 2 2 y2 B x 2 2 y2 动圆P与 A B都相外切 1 动圆圆心P的轨迹方程 2 若直线y kx 1与 1 中的曲线有两个不同的交点P1 P2 求k的取值范围 解答 1 依题意 PA PB 故P的轨迹是双曲线的右支 a 1 c 2 其方程为 2 联立方程组 在 1 有两不同的解 例5 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 解答 1 设A x1 y1 B x2 y2 中点P x0 y0 OA OB kOAkOB 1 x1x2 y1y2 0 y12 2px1 y22 2px2 y1 0 y2 0 y1y2 4p2 x1x2 4p2 2 y12 2px1 y22 2px2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 AB过定点 2p 0 设M 2p 0 3 设OA y kx 代入y2 2px得 x 0 同理 以代k得B 2pk2 2pk 即y02 px0 2p2 中点M轨迹方程y2 px 2p2 4 当且仅当 y1 y2 2p时 等号成立 5 法一 设H x3 y3 则 由 1 知 y1y2 4p2 整理得 x32 y32 2px3 0 点H轨迹方程为x2 y2 4x 0 去掉 0 0 H在以OM为直径的圆上 点H轨迹方程为 x p 2 y2 p2 去掉 0 0 评注 此类问题要充分利用 1 的结论 法二 OHM 90 又由 2 知OM为定线段 专题七曲线的性质和轨迹问题 第二课时 考点搜索 考点搜索 1 在求动点轨迹方程的过程中 一是寻找与动点坐标有关的方程 等量关系 侧重于数的运算 一是寻找与动点有关的几何条件 侧重于形 重视图形几何性质的运用 2 注意向量与解析几何的密切联系 由于向量具有几何形式和代数形式的 双重身份 使向量与解析几何之间有着密切联系 大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 3 注意利用曲线系解题 课前导引 1 已知反比例函数的图像是等轴双曲线 则其焦点坐标是 课前导引 A B C D 解答 双曲线的实轴为直线x y 0 故两个顶点坐标为 且 解答 双曲线的实轴为直线x y 0 故两个顶点坐标为 且 答案 A 2 已知圆x2 y2 1 点A 1 0 ABC内接于此圆 BAC 60o 当BC在圆上运动时 BC中点的轨迹方程是 A x2 y2 B x2 y2 C x2 y2 D x2 y2 解析 记O为原点 依题意 且OB OC 1 故原点到直线BC的距离为由图像可知 BC中点的横坐标小于故选D 链接高考 链接高考 例1 若直线mx y 2 0与线段AB有交点 其中A 2 3 B 3 2 求实数m的取值范围 解答 直线mx y 2 0过一定点C 0 2 直线mx y 2 0实际上表示的是过定点 0 2 的直线系 因为直线与线段AB有交点 则直线只能落在 ABC的内部 设BC CA这两条直线的斜率分别为k1 k2 则由斜率的定义可知 直线mx y 2 0的斜率k应满足k k1或k k2 A 2 3 B 3 2 说明 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题 这里要清楚直线mx y 2 0的斜率 m应为倾角的正切 而当倾角在 0 90 或 90 180 内 角的正切函数都是单调递增的 因此当直线在 ACB内部变化时 k应大于或等于kBC 或者k小于或等于kAC 当A B两点的坐标变化时 也要能求出m的范围 例2 根据下列条件 求双曲线方程 解答 方法一 1 解之得 则 解之得 方法二 1 设双曲线方程为 3 设双曲线方程为 解之得 k 4 双曲线方程为 比较上述两种解法可知 引入适当的参数可以提高解题质量 特别是充分利用含参数方程的几何意义 可以更准确地理解解析几何的基本思想 例3 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q 且与x轴 y轴分别交于R S 求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 例3 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q 且与x轴 y轴分别交于R S 求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 解答 由已知 直线l不过椭圆的四个顶点 所以设直线l的方程为代入椭圆方程得 化简后 得关于的一元二次方程 于是其判别式 由已知 得 0 即 在直线方程y kx m中 分别令y 0 x 0 求得 令顶点P的坐标为 x y 由已知 得 代入 式并整理 得