94三垂线定理复习

直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 我们就说直线和平面互相垂直 记作 它们唯一的公共点即交点叫做垂足 直线叫做平面的垂线 平面叫做直线的垂面 唯一性公理一 m A 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 唯一性公理二 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 m A B 直线与平面垂直的判定定理 如果直线和平面内的两条相交直线m n都垂直 那么直线垂直平面 即 线不在多 重在相交 线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 判定线面垂直的一个命题 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 即斜射角 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直与平面 它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 它们所成的角是0 的角 直线和平面所成角的范围是 0 90 平面的斜线和平面所成的角 如图 OA是平面 的斜线 OB 平面 于B AC是 内不与AB重合的任意直线 OAB BAC OAC 求证 cos cos cos O A B C 线面角 斜射角 射非角 斜非角 三垂线定理的逆理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 定理 逆定理 三垂线定理及其逆定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知 BAC在平面 内 点P PE AB PF AC PO 垂足分别是E F O PE PF求证 BAO CAO 分析 要证 BAO CAO只须证OE OF OE AB OF AC P 证明 PO OE OF是PE PF在 内的射影 PE PF OE OF 由OE是PE的射影且PE AB OE AB 同理可得OF AC 结论成立 例4 道旁有一条河 彼岸有电塔AB 高15m 只有测角器和皮尺作测量工具 能否求出电塔顶与道路的距离 解 在道边取一点C 再在道边取一点D 使水平角CDB等于45 测得C D的距离等于20m BC是AC的射影且CD BC CD AC CDB 45 CD BC CD 20m BC 20m 在直角三角形ABC中 AC2 AB2 BC2 AC 152 202 25 m 答 电塔顶与道路的距离是25m 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离 例5直接利用三垂线定理证明下列各题 已知 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点 求证 PO BD PC BD 3 已知 在正方体AC1中 求证 A1C B1D1 A1C BC1 2 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM 1 2 3 若a是平面 的斜线 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 若a是平面 的斜线 b 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 若a是平面 的斜线 直线b 且b垂直于a在另一平面 内的射影则a b 若a是平面 的斜线 平面 内的直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 练习 判断下列命题的真假 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 垂线b 面ABCD 面 面B1BCC1 面 直线A1C 斜线a直线AB 垂线b 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 垂线b 思考题 1 在四面体ABCD中 已知AB CD AC BD 求证 AD BC DO BC 于是AD BC 证明 作AO 平面BCD于点O 连接BO CO DO 则BO CO DO分别为AB AC AD在平面BCD上的射影 O AB CD BO CD 同理CO BD 于是O是 BCD的垂心 思考题 1 在四面体ABCD中 对棱互相垂直 则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心 3 在四面体ABCD中 AB AC AD 则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心 4 在四面体ABCD中 顶点A到BC CD DB的距离相等 则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心 垂 外 内 2 在四面体ABCD中 AB 互相垂直 则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心 垂 例在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为DD1的中点 O为底面ABCD的中心 求证B1O PA P O 导析 正方体中有众多的线面垂直 为我们使用 三垂线定理 提供了极为便利的条件 谁是基础平面呢 若以平面BB1D1D为基础面 可有如下的证明方法 如图六因为AO BD 而BB1 面ABCD 从而有AO BB1 得AO 平面BB1D1D 故PO就是AP在平面BB1D1D上的射影 P O 例在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为DD1的中点 O为底面ABCD的中心 求证B1O PA P O 导析 正方体中有众多的线面垂直 为我们使用 三垂线定理 提供了极为便利的条件 谁是基础平面呢 若以平面A1ADD1为基础面 显然B1A1 平面A1ADD1 只须作出O点在平面A1ADD1上的射影即可得到斜线B1O在平面A1ADD1上的射影 如图 O点在平面A1ADD1上的射影恰为AD的中点M 只要证明A1M AP即可 这在正方形A1ADD1中是显然的结论 基础平面 解题小结 不同的选择 使问题的解决过程有难有易 由此也体现出灵活性并非能轻而易举地获得 所以要加强训练 F 有趣的是 在线段A1B1上任取一点F 结论都能有FO AP 原因何在 1 如图 PA ABC所在平面 AB AC 13 BC 10 PA 5 求点P到直线BC的距离 设BC的中点为D 连结PD AB AC 13 BC 10 AD BC 且AD 12 又 PA 平面ABC PD BC 即PD的长度就是P到直线BC的距离 而PD 13 2 Rt ABC在平面 内 C 90 AC 1