拉普拉斯变换及其逆变换表

1laf( t )af(s )齐次性线性定理l f 1 ( t )f2( t )f 1 ( s )f2( s )叠加性l df( t ) sf( s )f( 0 )l ddt2f( t )dt2s2f( s )sf( 0 )f（0 ）ldnf( t)ndtnsnf( s )snkf( k1 )( 0)k1f( k1 )( t )dk1fdt( t )k12微分定理一般形式初始条件为0 时ldnf( t)dtnsnf(s )lf (t )dt f ( s)sf (t )dt t 0s2lf ( t)( dt ) 2f ( s)s2f (t) dt t 0s2f (t )(dt ) t 0s共n个共n个lf (t)(dt )n f ( s)snnk 1 s1n k 1f (t)(dt ) n t 0一般形式共n个3积分定理初始条件为0 时lf ( t)( dt) n f ( s)snts4延迟定理（或称t 域平移定理）l f (tt)1(tt )ef ( s)拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 a-1拉氏变换的基本性质精品资料5 衰减定理（或称s 域平移定理）l f(t )eat f ( sa)6 终值定理limf ( t )limts0sf ( s)lim f (t )limsf(s)7 初值定理t0s8 卷积定理tlf1( t0) f2 ( ) d tlf1( t) f2 ( t0) d f1 (s) f2 ( s)2. 表 a-2常用函数的拉氏变换和z 变换表序号拉氏变换 f(s)时间函数f(t)z 变 换 f(z)11(t)1121e tst ( t)(tnt )zn 0z1311(t )zsz114s2ttz( z1)221t5s32t 2 z(z1)32( z1)1t n6 n 1lim (1)znnn (at )sn!a 0n!aze17 sae atzatzeat1attze8 ( sa) 2teaat( ze(1eat )2at)eat) z9 s(sa)1e(z1)( zbaatbtzz10 (s11a)(sb)eesintze atze btz sints22z22 zcost1scostz( zcost )212s2z 22 zcost1atzeat sint13(sa)22esintz22 ze atcoste 2 atsa1422e at costz2ze atcost( s15sa)1(1 / t ) ln aat / tz22ze atzzacoste 2 at3. 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设f (s) 是 s 的有理真分式mm 1f(s)b(s)bmsbm 1snb1sb0a(s)asaasa（ nm ）snn 110n 1式中系数a0 , a1 ,., an 1 , an ，b0 ,b1 ,bm 1 ,bm 都是实常数；m, n 是正整数。按代数定理可将 f ( s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。a( s)0 无重根这时， f(s) 可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。f(s)c1ss1c2ss2cissicnssnncissi 1i式中， s1，s2，sn是特征方程 a(s) 0 的根。ci 为待定常数，称为f(s)在 si 处的留数，可按下式计算：cilis msi(ssi )f(s)或icb(as) (s)ss i式中， 可求得原函数a ( s) 为 a( s) 对 s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（f-1 ）f (t )l1f(s)l1cini1ssinciei1sita(s)0 有重根设 a(s)0 有 r 重根s1 ， f(s) 可写为1fsb(s)=cr1(ss )r(ss ) r (scr 11( ss )r 1sr 1 )(s( sc1s1 )sn )scr 1sr 1cissicnssn式中，s1 为 f(s) 的 r 重根， sr1 ，,sn 为 f(s) 的 n-r 个单根；其中， cr1 ，,cn 仍按式 (f-2) 或(f-3) 计算，cr ， cr1 ，,c1 则按下式计算：rcrlis ms1 (s s1 )f(s)cdrdsr 1lim(srs s1s1 )f(s)cr j1lisms1j!d( j )( sds( j )s1 )f( s)c11(r1)!lisms1d( r 1 )(sds( r 1 )s ) r f(s)1原函数 f (t) 为(t)1ll1f ( s)crcr 1s1 )c1(ss1 )scr 1sr 1cicn( ss1 )r(