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算术平均数与几何平均数 2 重要不等式1如果a b R 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 重要不等式2如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 定理1的推论 如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 已知x y都为正数 1 如果积xy为定值P 那么当x y时 和x y有最小值 2 若x y为定值S 那么当x y时 积xy有最大值 这个结论反映在利用均值不等式求最值时 要注意以下三个条件 1 函数式中各项必须都是正数 2 函数式中含变量的各项的和或积必须是常数 3 等号成立的条件必须存在 一正 二定 三相等 例1 1 求函数的最小值并求相应的x的值 2 求函数的最小值并求相应的x的值 3 求函数的最大值 析 求函数的最值 可考虑利用和 积不等式 关键在于对函数式结构的调整 使得函数的结构为和的形式 或积的形式 并且相应的和 或积 为定值 说明 此题通过恰当的恒等变形 分拆变量 使之满足定理条件 把问题转化为定积条件下的两个变量和的问题 例2 若x 0 y 0 且x y 2 求x2 y2的最小值 例3 1 某种汽车购买时的费用是10万元 每年的保险费 养路费 汽车油费合计为9千元 汽车的维修费平均为第一年2千元 第二年为4千元 第三年为6千元 依等差数列逐年递增 问这种汽车使用多少年报废最合算 即年平均费用最少 2 设计一幅宣传画 要求画面面积为4840cm2 画面的宽与高的比为 画面的上下各留8cm的空白 左右各留5cm的空白 怎样确定画面的高与宽的尺寸 能使宣传画所用纸张面积最小 在应用均值不等式解决实际问题时应注意 1 设变量 一般把要求最大值或最小值的变量设为函数 2 建立相应的函数关系式
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