云南昭通实验中学高一数学《基本不等式》课件

基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 探究1 a b 1 正方形ABCD的面积S 四个直角三角形的面积和S S与S 有什么样的不等关系 探究 S S 问 那么它们有相等的情况吗 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 A B C D E FGH a b 思考 你能给出不等式的证明吗 证明 作差法 结论 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b R 问题一 问题一 替换后得到 即 即 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗 问题二 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 问题二 证明不等式 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 基本不等式 在数学中 我们把叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 Rt ACD Rt DCB A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 几何意义 半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b R a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 例1 1 如图 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 如图设BC x CD y 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 此时x y 10 x y A B D C 若x y皆为正数 则当xy的值是常数P时 当且仅当x y时 x y有最小值 例1 2 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设BC x CD y 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 得xy 81 当且仅当x y时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 即x y 9 A B D C 若x y皆为正数 则当x y的值是常数S时 当且仅当x y时 xy有最大值 各项皆为正数 和或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 相等 利用基本不等式求最值时 要注意 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设BC x CD y 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xym2 A B D C 得144 2xy 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 即xy 72 即x 12 y 6 x 2y 24 x 2y 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设BC x CD y 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xym2 A B D C x y不是定值 2 24为 得2xy 144 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 即xy 72 即x 12 y 6 x 2y 24 x 2y 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 分析 设AB x BC 24 2x A B D C 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 设AB x BC 24 2x 矩形花园的面积为x 24 2x m2 当且仅当2x 24 2x 即x 6时 等号成立 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 其中2x 24 2x 24是定值 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 设AB x BC 24 2x 矩形花园的面积为x 24 2x m2 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 当x 6时 函数y取得最小值为72 小结 求最值时注意把握 一正 二定 三相等 2 利用基本不等