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2 4向量的数量积 二 学习目标理解并掌握两个向量数量积的坐标表示方法 能利用向量的数量积解决向量夹角 平行 垂直等问题 课堂互动讲练 课前自主学案 知能优化训练 2 4向量的数量积 二 课前自主学案 1 向量数量积的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 i与j分别为与x轴 y轴同向的单位向量 则 i2 i i 1 j2 j j 1 i j j i 0 a x1 y1 x1i y1j b x2 y2 x2i y2j a x1 y1 b x2 y2 则a b 2 求向量模的公式设a x y 则 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 与向量a x y 同向的单位向量的坐标如何表示 课堂互动讲练 引入坐标运算后 向量的数量积的运算与两个向量的坐标运算联系起来 因而数量积的有关运算成了一种代数运算 已知向量a 1 3 b 2 5 c 2 1 求 1 a b 2 a b 2a b 3 a b c a b c 思路点拨 利用数量积的坐标公式 将相应向量的坐标代入计算即可 解 1 a b 1 3 2 5 1 2 3 5 17 2 a b 1 3 2 5 3 8 2a b 2 1 3 2 5 2 6 2 5 0 1 a b 2a b 3 8 0 1 3 0 8 1 8 3 a b c 17 c 17 2 1 34 17 a b c a 2 5 2 1 1 3 2 2 5 1 9 1 3 9 27 名师点评 以坐标形式计算数量积 要找准数量积中各向量的坐标 可一步一步计算每个过程以保证结果正确 互动探究1例1的条件不变 求 1 2a b a 2 a 2b c 解 1 2a 2 1 3 2 6 b a 2 5 1 3 1 2 2a b a 2 6 1 2 2 1 6 2 14 2 a 2b 1 3 2 2 5 1 3 4 10 5 13 a 2b c 5 13 2 1 5 2 13 1 23 由于a b a b cos x1x2 y1y2 即数量积有两种表现形式 这就为求向量的夹角 提供了另外一种途径 即运用坐标形式求数量积 再求夹角 思路点拨 利用向量的数量积的坐标运算及向量的夹角公式求解 自我挑战2已知向量a 2 1 b m 2 它们的夹角为 当m取什么实数时 为 1 直角 2 锐角 3 钝角 两个非零向量垂直主要有两种形式 1 若a与b为非零向量 则a b a b 0 2 设非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 要注意两种形式的选择与灵活应用 本题满分14分 已知向量a 4 3 b 1 2 若向量a b与2a b垂直 求 的值 思路点拨 由a b与2a b的坐标式 可求出a b 2a b的坐标后列方程求解 也可直接利用数量积的运算律化简后求解 规范解答 法一 a 4 3 b
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