《高考调研》高三数学第一轮复习 第二章《函数》课件25.ppt

2 求二次函数在区间 m n 上的最值是非常重要的题型 往往结合图象求解 3 二次方程ax2 bx c 0 a 0 实根的分布 二次函数的零点分布 6 在 k1 k2 内有且仅有一个实根的一个充分条件是 f k1 f k2 0 1 2010 四川卷 函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是 a m 2b m 2c m 1d m 1答案a解析当m 2时 f x x2 2x 1 对称轴为x 1 其图象关于直线x 1对称 反之也成立 所以f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是m 2 故选a 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 确定下列各式的正负 b ac a b c 答案b 0ac 0a b c 0 3 二次函数y f x 满足f 0 f 2 x1 x2是方程f x 0的两个实根 则x1 x2 答案2 4 已知y cosx a 2 1 当cosx 1时y取最大值 当cosx a时 y取最小值 则a的范围是 5 a 0是方程ax2 2x 1 0至少有一个负数根的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件答案b 题型一二次函数的解析式例1已知二次函数f x 满足f 1 x f 1 x 且f 0 0 f 1 1 若f x 在区间 m n 上的值域是 m n 求m n的值 探究1 确定二次函数解析式用待定系数法 应根据题设恰当选择解析式形式 本题也设为f x a x 1 2 k 再由f 0 0 f 1 1 确立a k的值 求二次函数f x 在给定区间上的值域的关键是确定f x 在给定区间上单调性 需要通过抛物线开口方向及对称轴与区间的位置关系来确定 本题二次函数的对称轴确定 为直线x 1 但区间 m n 不确定 应该分四种情况 但根据题设可知n 1 从而减少了讨论的情况 这是本题的难点 思考题1已知 二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试求此二次函数 分析 会利用待定系数法求二次函数解析式 掌握二次函数解析式的三种形式 题型二二次函数的值域或最值例2求下列函数的值域 1 y x2 4x 2 x r 2 y x2 4x 2 x 5 0 3 y x2 4x 2 x 6 3 4 y x2 4x 2 x 0 2 思路分析 这些函数都是二次函数且解析式都相同 但是各自函数的定义域都是不同的 应该通过 配方 借助于函数的图象而求其值域 解析 1 配方 得y x 2 2 6 由于x r 故当x 2时 ymin 6 无最大值 所以值域是 6 图 2 配方 得y x 2 2 6 因为x 5 0 所以当x 2时 ymin 6 当x 5时 ymax 3 故函数的值域是 6 3 图 3 配方 得y x 2 2 6 因为x 6 3 所以当x 3时 ymin 5 当x 6时 ymax 10 故函数的值域是 5 10 图 4 配方 得y x 2 2 6 因为x 0 2 所以当x 0时 ymin 2 当x 2时 ymax 10 故函数的值域是 2 10 图 讲评 上述四个题目相同但所给的区间不同 最后得到的值域也不同 主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的 因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子 探究2配方法 配方法是求 二次函数类 值域的基本方法 形如f x af2 x bf x c的函数的值域问题 均可使用配方法 例3已知f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 求a的取值范围 分析 f x 0恒成立 等价于f x 的最小值 0 即转化为求f x 在 2 2 上的最小值 2 二次函数在区间上的最值问题 可分成三类 对称轴固定 区间固定 对称轴变动 区间固定 对称轴固定 区间变动 此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑 对于后面两类问题 通常应分对称轴在区间内 左 右三种情况讨论 思考题3已知函数f x x2 2ax 1 a在0 x 1时有最大值2 求a的值 分析 因为x有限制条件 要求函数最值 需作出函数图象 作图象先看开口方向 再看对称轴位置 因为此函数的对称轴是x a位置不定 并且在不同位置产生的结果也不相同 所以要对对称轴的位置进行分类讨论 解析 当对称轴x a 0时 如图1所示 当x 0时 y有最大值ymax f 0 1 a 所以1 a 2 即a 1 且满足a 0 a 1 当对称轴0 a 1时 如图2所示 当x a时 y有最大值ymax f a a2 2a2 1 a a2 a 1 探究 本题是开口方向向下 只求得最大值 所以分3种情况讨论 当开口方向向上 求最大值时 只需分2种情况讨论 求最小值时 也得分3种情况 尤其是当x有限制条件 最大值和最小值都要求时 需分4种情况讨论 另外本题属于二次函数 轴变区间定 的问题 应对对称轴进行讨论 题型三一元二次方程根的分布 探究4一元二次方程根的分布问题的求法 数形结合法 解法一 求根公式法 解法二 图象法 具体问题中用哪种方法 要视其过程是否复杂而定 思考题4若将本例中的条件 1 1 改为 1 1 则如何求解 注 当x 1 1 时 此法仍可用 只要通过草图把空白点处的纵坐标排除即可 1 求二次函数的解析式常用待定函数法 如例1 2 二次函数求最值问题 首先要采用配方法 化为y a x m 2 n