福建省漳州市芗城中学高中数学对称问题专题训练新人教A版.doc

福建省漳州市芗城中学高中数学 3对称问题专题训练 新人教A版必修2目标：能运用直线方程的知识解决与直线有关的对称和最值问题。一、基本对称：x轴y轴原点直线y = x直线y = - x点(1 , 2)P(x0 , y0)直线Ax + By + C = 0练习：2x + 3y 6 = 0方程：f (x , y) = 0函数y = f (x)规律图象应用：y = x2 + 2x + 3 (x 1)2 + (y +1)2 = 4二、点对称（中心对称）图像旋转180后重合1、举出中心对称的例子： 如：正方形、正多边形、圆、奇函数的图像。2、点与点对称：例1：点M（4，3）关于N（5， 3）的对称点是。一般结论：点P(x0 , y0) 关于点Q (a , b) 的对称点是。解题思路：中点坐标公式。3、直线关于点对称：例2：直线y = 3x - 4关于点 (1 , 1) 对称的直线方程是。解题思路：（1）直线上任取两点，求关于 (1 , 1) 的对称点确定一条直线；（2）两对称直线平行，直线的方程可设为3x y + m = 0，由点到直线的距离相等可得；（3）设P(x0 , y0)为直线y = 3x - 4上任一点，y0 = 3x0 4，又P(x0 , y0)关于 (1 , 1) 的对称点为P (x , y)，得代入即得。注：本题用（2）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。练习：1、方程x2 + y2 = 1关于点（1，1）对称的方程为。 2、点A (3， 1) 关于点B（2，1）的对称点是。 3、直线2x y + 1 = 0关于点 (2 , 4) 对称的直线方程是。 直线x + y + 1 = 0关于点 (2 , 3) 对称的直线方程是。三、轴对称（直线）沿直线翻折后图像重合1、举出轴对称的例子： 如：正多边形、圆、偶函数的图像、互为反函数的图像。2、点关于直线对称：例3：点M(2 , 4) 关于直线l: 2x y + 1 = 0的对称点是。解题思路：设N(x0 , y0)，则l为MN的垂直平分线，得联立方程组求解。练习：1、点M (2 , 3) 关于直线x + y + 1 = 0的对称点是。2、点 (4 , 0 ) 关于直线5x + 4y + 21 = 0的对称点是。3、点A (4 , 5) 关于直线l的对称点是B (- 2 , 7)，则l的方程是。3、直线关于直线对称：例4：直线l1: x y 2 = 0关于直线l2: 3x y + 3 = 0对称的直线方程为。解题思路：（1）夹角相等求斜率；过交点解方程组。（2）l1上任取一点，求关于l2的对称点坐标，所求直线必过对称点及交点。（3）设P(x0 , y0) 是l1上的任一点，x y 2 = 0P关于直线l2的对称点为Q (x , y)，得：把x , y看成常数，求得x0 , y0，代入即得。注：本题用（1）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。练习：1、求直线2x + 3y 6 = 0关于直线x + y 1 = 0的对称直线方程。2、已知直线l: x + y 2 = 0，一束光线过点P (0 ,) 以120的倾斜角投射到l上，经l反射后，求反射线所在直线的方程。3、有一光线从点A (2 , 13) 射到直线l: 3x 4y 4 = 0以后，再反射到点B (- 3 , 3) ，求这条光线的入射线的反射线所在直线的方程以及这条光线从A到B所经过的路程。4、光线沿着斜率为的直线l1射在斜率为的直线l2上反射，若l1和l2的交点为点 (- 1 , 2) ，求反射线所在的直线方程。一般结论：求直线Ax + By + C = 0关于直线y = x + b的对称直线的方程。设P(x0 , y0)，则Ax0 + By0 + C = 0，P关于直线y = x + b的对称点为Q (x , y)，则有或。注：在解答题中，把满足的条件（方程组）写出后，可直接得出结论。如：练习1，2。（检验）四、最值问题例5：已知P为x轴上一动点，A(0 , 3) , B (4 , 5) 为两定点，求 |PA| + |PB| 的最小值。引申：求函数的值域。练习：1、求函数的值域。2、求函数的值域。例6：在直线l: x + y 8 = 0上求一点M，使之与两定点A (- 4 , 0) 及B (4 , 0) 的距离之和最短。五、高考题选1（93）和直线3x 4y + 5 = 0关于x轴对称的直线方程是。2（90）如果直线y = ax + 2与直线y = 3x- b关于直线y = x对称，那么a = , b =。3（92）已知直线l1和l2夹角的平分线为y = x，如果l1的方程是ax + by + c = 0 (ab 0)，那么l2的方程是。4（91）点P (2 , 5) 关于直线x + y = 0的对称点坐标是。5（92）原点关于直线8x + 6y = 25的对称点坐标为。6（92上海）如果直线l与直线x + y 1 = 0关于y轴对称，那么直线l的方程是。7（97）椭圆C与椭圆关于直线x + y = 0对称，则椭圆C的方程是。小结归纳：对称问题分为点对称及轴对称