高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（A）9(A)3课件.ppt

基础知识一 两平面的位置关系空间两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面垂直是相交的一种特殊位置 平行和相交 二 两个平面平行的判定和性质1 两平面平行的判定 如果两个平面没有 那么这两个平面互相平行 如果一个平面内的两条直线都另一个平面 那么这两个平面平行 即 a b a b 垂直于同一条直线的两个平面平行 即l 平行于同一平面的两个平面互相平行 即 公共点 相交 平行于 a b a l 2 两平面平行的性质 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的平行于另一个平面 即 a 如果两个平行平面同时和第三个平面 那么它们的交线平行 即 a b 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 那么它也于另一个平面 即 l a a b l 相交 直线 垂直 三 两个平面垂直的判定和性质1 两平面垂直的判定 两个平面相交 如果它们所成的二面角是二面角 那么这两个平面互相垂直 如果一个平面另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 即a 直 经过 垂线 a 2 两平面垂直的性质 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面 即 l a l a 如果两个平面垂直 那么经过垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内 即 p a a 交线 a 第一平面内的一点 p a 易错知识一 几何定理应用失误1 如下图所示 已知e f分别是正方体abcd a1b1c1d1棱aa1 cc1上的点 且ae c1f 则四边形ebfd1的形状为 平行四边形 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别是c1c b1c1 c1d1的中点 则平面mnp与平面a1bd的位置关系为 平行 二 逻辑推理失误3 如下图四棱锥p abcd的底面是一直角梯形 ab cd ba ad cd 2ab pa 底面abcd e为pc中点 则be与平面pad的位置关系为 平行 回归教材1 下列命题中 正确的是 a 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行 则这两个平面平行b 如果一个平面内的无数条直线与另一个平面平行 则这两个平面平行c 如果一个平面内的两条直线分别与另一个平面内的两条直线平行 则这两个平面平行d 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行 则这两个平面平行 解析 由判定定理知 d正确 答案 d 2 已知m n是不重合的直线 是不重合的平面 有下列命题 其中真命题的个数是 若m n 则m n 若m m 则 若 n m n 则m 且m 若m m 则 a 0b 1c 2d 3解析 对于 m与n可平行或异面 故 不正确 对于 与 可平行 也可相交 对于 m与 可平行 也可在其内 对于 由面面平行的判定可知正确 答案 b 3 2009 福建 10 设m n是平面 内的两条不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 a m 且l1 b m l1且n l2c m 且n d m 且n l2 解析 m l1 且n l2 又l1与l2是平面 内的两条相交直线 而当 时不一定推出m l1且n l2 也可能异面 故选b 答案 b 4 教材改编题 在边长为a的正 abc中 ad bc于d 沿ad折成二面角b ad c后 bc a 这时二面角b ad c的大小为 解析 由定义知 bdc为所求二面角的平面角 又bc bd dc a bdc为等边三角形 bdc 60 答案 60 5 在空间四边形abcd中 若ad bc bd ad 则平面adc和平面dbc的关系为 解析 ad bc ad bd 且bd bc b ad 平面dbc 又ad 平面adc 平面adc 平面dbc 答案 垂直 例1 如下图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 1 求证 平面a1bd 平面cb1d1 2 求平面a1bd和平面cb1d1的距离 命题意图 主要考查面面平行的判定和两平行平面间距离的求法 分析 由正方体的对称性 注意ac1 平面a1bd ac1 平面cb1d1 设ac1分别交平面a1bd cb1d1于m n 则mn的长即为所求 再在对角面a1acc1中求mn的长 解答 1 证明 a1bcd1为矩形 a1b d1c 又d1c 平面cb1d1 a1b 平面cb1d1 a1b 平面cb1d1 同理a1d 平面cb1d1 又a1b a1d a1 平面a1bd 平面cb1d1 2 解 连结ac1分别交平面a1bd 平面cb1d1于m n 连ac a1c1 bd ac 由三垂线定理知bd ac1 ac1 平面a1bd 又平面a1bd 平面cb1d1 ac1 平面cb1d1 mn的长就是平面a1bd与平面cb1d1的距离 如下图所示 在矩形a1acc1中 平面a1bd 平面cb1d1 平面a1bd 平面a1acc1 a1o 平面cb1d1 平面a1acc1 co1 总结评述 求平面a1bd和平面cb1d1的距离可以转化为求c到平面a1bd的距离 再利用体积变换 va1 bcd vc a1bd 求点面距离十分方便 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别是c1c b1c1 c1d1的中点 求证 1 ap mn 2 平面mnp 平面a1bd 分析 1 欲证ap mn 只需证ap b1c即可 证线线垂直利用三垂线定理解决 于是找ap在平面bc1内的射影 利用平面apc1b 平面bb1c1可找到ap在平面bc1内的射影为bc1 问题得以解决 2 证明面面平行利用面面平行的判定定理 在平面mnp内找两条与平面a1bd平行的相交直线即可解决问题 证明 1 连结bc1 b1c 则b1c bc1 ab 平面bc1 ab 平面apc1b 平面apc1b 平面bc1 bc1是ap在平面bb1c1内的射影 ap b1c 又 b1c mn ap mn 2 连结b1d1 p n分别是d1c1 b1c1的中点 pn b1d1 又 b1d1 bd pn bd 又 pn 平面a1bd pn 平面a1bd 同理 mn 平面a1bd 又pn mn n 平面pmn 平面a1bd 总结评述 两平面的位置关系有相交 平行 解题中注意 垂直相交 这种特殊位置 当两平面垂直相交时可得到线面垂直及平面内任意的直线在另一平面的射影在两平面的交线上等一些重要结论 在立体几何中 往往通过线线 线面 面面之间的位置关系的转化证明新的位置关系成立 熟练掌握这种思维方法 就能抓住这章的特点 许多平行或垂直问题就能寻找到解题思路 例2 2009 湖南 如图所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 ab aa1 点d是a1b1的中点 点e在a1c1上 且de ae 1 证明 平面ade 平面acc1a1 2 求直线ad和平面abc1所成角的正弦值 证明 1 由正三棱柱abc a1b1c1的性质知aa1 平面a1b1c1 又de 平面a1b1c1 所以de aa1 而de ae aa1 ae a 所以de 平面acc1a1 又de 平面ade 故平面ade 平面acc1a1 2 解法一 如图所示 设f是ab的中点 连结df dc1 c1f 由正三棱柱abc a1b1c1的性质及d是a1b1的中点知 a1b1 c1d a1b1 df 又c1d df d 所以a1b1 平面c1df 而ab a1b1 所以ab 平面c1df 又ab 平面abc1 故平面abc1 平面c1df 过点d作dh垂直c1f于点h 则dh 平面abc1 连结ah 则 had是直线ad和平面abc1所成的角 在直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 ab ac 4 bac 90 d为侧面abb1a1的中心 e为bc的中点 1 求证 平面db1e 平面bcc1b1 2 求异面直线a1b与b1e所成的角 解 1 证明 连结ae bac 90 ab ac e为bc中点 ae bc 又平面b1bcc1 平面abc 且交线为bc ae 平面b1bcc1 又ae 平面db1e 平面db1e 平面bcc1b1 2 取ae中点f 连df 在 ab1e中 df bdf为a1b与b1e所成的角 例3 2009 重庆 18 如图所示 在五面体abcdef中 ab dc bad cd ad 2 四边形abfe为平行四边形 fa 平面abcd fc 3 ed 求 1 直线ab到平面efcd的距离 2 二面角f ad e的平面角的正切值 解析 1 因为ab dc dc 平面efcd 所以直线ab到平面efcd的距离等于点a到平面efcd的距离 如图1 过点a作ag fd于g 因 bad ab dc 故cd ad 又fa 平面abcd 由三垂线定理知cd fd 故cd 平面fad 知cd ag 故ag为所求的直线ab到平面efcd的距离 在rt fdc中 2 由已知fa 平面abcd 得fa ad 又由 bad 知ad ab 故ad 平面abfe 从而ad fe 所以 fae为二面角f ad e的平面角 记为 由四边形abef为平行四边形 得fe ba 从而 efa 在rt efa中 2008 全国 19 如图 正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 4 点e在cc1上且c1e 3ec 1 证明 a1c 平面bed 2 求二面角a1 de b的大小 命题意图 本题主要考查线面关系的论证 二面角的求法以及空间想象能力和推理论证能力 解析 依题设知ab 2 ce 1 1 如图 1 连结ac交bd于点f 则bd ac 由三垂线定理知 bd a1c 在平面a1ca内 连结ef交a1c于点g rt a1ac rt fce aa1c cfe cfe aca1 又 aa1c与 aca1互余 cfe与 fca1互余 于是a1c ef a1c与平面bed内两条相交直线bd ef都垂直 a1c 平面bed 2 如图 1 作gh de 垂足为h 连结a1h 由三垂线定理知a1h de 故 a1hg是二面角a1 de b的平面角 1 证明面面平行常用的方法有 1 定义 2 判定定理 3 l l 2 应用面面平行的性质定理时 关键是找 或作 铺助平面 对此需要强调的是 1 辅助线 辅助平面要作得有理有据 不能随意添加 2 辅助面 辅助线具有的性质 一定要以某一性质定理为依据 决不能凭主观臆断 3 注意线线平行 线面平行 面面平行间的相互转化应用判定定理时 注意由 低维 到 高维 线线平行 线面平行 面面平行 应用性质定理时 注意由 高维 到 低维 面面平行 线面平行 线线平行 4 两个平面垂直的判定方法有 1 判定定理 a a 2 定义法 证明二面角的平面角为90 5 出现两个平面垂直时 往往考虑用性质定理 找交线 在一个平