高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示精品课件同步导学 新人教A版选修21.ppt

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 1 理解空间向量基本定理 并能用基本定理解决一些几何问题 2 理解基底 基向量及向量的线性组合的概念 3 掌握空间向量的坐标表示 能在适当的坐标系中写出向量的坐标 1 空间向量基本定理 重点 2 用基底表示已知向量 难点 3 在不同坐标系中向量坐标的相对性 易错点 1 平面向量基本定理的内容是 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使 不共面的向量e1 e2叫做这一平面内所有向量的一组 2 在平面内 把一个向量分解成两个互相垂直的向量 叫做把向量 a 1e1 2e2 基底 正交分解 7 4 1 空间向量基本定理定理 如果三个向量a b c 那么对于空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空间的一个基底 都叫做基向量 不共面 xa yb zc a b c 2 空间向量的正交分解及其坐标表示 两两垂直 公共点 平移 起点 xe1 ye2 ze3 p x y z 1 已知a b c是不共面的三个向量 则能构成一个基底的一组向量是 a 2a a b a 2bb 2b b a b 2ac a 2b b cd c a c a c 答案 c 答案 c 答案 1 1 1 1 0 1 以下四个命题中正确的是 a 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示b 若 a b c 为空间的一个基底 则a b c全不是零向量c 若向量a b 则a b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底d 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 根据空间基底的定义逐个选项判断 解题过程 答案 b 题后感悟 1 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 2 由于0可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是0 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同概念 1 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则 a a与b共线b a与b同向c a与b反向d a与b共面解析 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底 b c都是a的一种情况 空间中任两个向量都是共面的 故d错 答案 a 题后感悟 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底 关键是要判断它们是否共面 如果从正面难以入手 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断 2 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底 给出下列向量组 a b x a b y x y z a x y x y a b c 其中可以作为空间基底的向量组有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 c 由题目可获取以下主要信息 a b c 是一个基底 空间四边形oabc中 g h分别是 abc obc的重心 解答本题可利用重心的性质 再结合图形进而求得结果 1 对基底的理解 1 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 基底选定后 空间的所有向量均可由基底惟一表示 2 由于0与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以若三个向量不共面 就说明它们都不是0 3 空间的一个基底是指一个向量组 是由三个不共面的空间向量构成 一个基向量是指基底中的某个向量 二者是相关联的不同概念 2 怎样正确理解空间向量基本定理 1 空间向量基本定理表明 用空间三个不共面已知向量组 a b c 可以线性表示出空间任意一个向量 而且表示的结果是惟一的 2 空间中的基底是不惟一的 空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底 3 如何理解空间向量与平面向量的正交分解 空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似 都需要事先提供一组基底 空间向量表示为p xa yb zc的形式 平面向量表示为p xa yb的形式 4 特殊向量的坐标表示 1 当向量a平行于x轴时 纵坐标 竖坐标都为0 即a x 0 0 2 当向量a平行于y轴时 横坐标 竖坐标都为0 即a 0 y 0 3 当向量a平行于z轴时 横坐标 纵坐标都为0 即a 0 0 z 4