高中数学 1211等差数列精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

2等差数列 2 1等差数列 第一课时等差数列的概念及通项公式 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的判定方法 3 掌握等差数列的通项公式及通项公式的简单应用 1 能利用定义判定等差数列 会由等差数列的通项公式求特定项 重点 2 利用等差数列解决简单实际问题 难点 3 三种题型均可涉及 一般为中低档题 1 数列 an 的前4项为 1 1 3 5 则其一个通项公式为an 2n 3 2 若数列 an 的通项公式是an 5n 1 则其前5项依次为6 11 16 21 26 第10项为51 3 观察下面的几个数列 1 鞋的尺码 按照国家统一规定 有22 22 5 23 23 5 24 24 5 2 某月星期日的日期为2 9 16 23 30 3 一个梯子共8级 自下而上每一级的宽度 单位 cm 为89 83 77 71 65 59 53 47 这几个数列有什么共同的特点 1 等差数列的定义如果一个数列从第项起 每一项与前一项的差是称这样的数列为等差数列 这个常数为等差数列的 通常用字母表示 2 等差数列的通项公式 1 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 也可写为an am n m d 2 同一个常数 公差 d an a1 n 1 d 2 若通项公式变形为an dn a1 d 当d 0时 可把an看做自变量n的函数 从而等差数列 an 的图像为分布于上的一群孤立的点 一次 一条直线 答案 d 2 数列 an 的通项公式an 2n 5 则此数列 a 是公差为2的等差数列b 是公差为5的等差数列c 是首项为5的等差数列d 是公差为n的等差数列答案 a 3 等差数列 an 中 已知a3 10 a8 20 则公差d 答案 64 已知等差数列13 15 17 那么数列的第1000项为 答案 20115 如果数列 an 满足an 1 an 2 an 1 且a10 17 求它的通项公式 解析 an 1 an 2 an 1 an 1 an 2 an 是公差为2的等差数列 又a10 17 a1 9 2 17 a1 1 an 2n 3 若 an 是等差数列 a15 8 a60 20 求a75 先由条件求出首项a1和公差d 写出通项公式 再求a75 也可以利用通项公式的变形公式进行求解 题后感悟 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 如果条件与结论间的联系不明显 则均可化成有关a1 d的关系列方程组求解 但是 要注意公式的变形及整体计算 以减少计算量 1 在等差数列 an 中 已知a4 70 a21 100 1 求通项公式an 2 an 中有多少项属于区间 18 18 2 由题意 得 18 10n 110 18 解得9 2 n 12 8 n n n 10 11 12 属于区间 18 18 的项有3项 它们是a10 a11 a12 已知等差数列 an 3 7 11 15 1 135 4m 19 m n 是 an 中的项吗 并说明理由 2 若am at m t n 是数列 an 中的项 则2am 3at是数列 an 中的项吗 并说明你的理由 首先写出数列的通项公式 再判断所给数是否与通项公式相符 解题过程 1 依题意有a1 3 d 7 3 4 an 3 4 n 1 4n 1 设an 4n 1 135 则n 34 所以135是数列 an 的第34项 由于4m 19 4 m 5 1 且m n 所以4m 19是数列 an 的第m 5项 2 am at是数列 an 中的项 am 4m 1 at 4t 1 2am 3at 2 4m 1 3 4t 1 4 2m 3t 1 1 2m 3t 1 n 2am 3at是 an 中的项 题后感悟 一个数列的通项公式代表了这个数列中所有项的共同特征 因此 已知数列中的某项 则它必符合通项公式 反之 要判断某个数是否为该数列中的项 只要看它能否表示为通项形式 2 已知等差数列 an 中 a15 33 a61 217 判断153是否是这个数列中的项 如果是 是第几项 解析 方法一 设等差数列的公差为d 则an a1 n 1 d 解得a1 23 d 4 an 23 n 1 4 4n 27 令an 153 则4n 27 153 得n 45 n 153是所给数列的第45项 方法二 数列 an 不是常数列 数列 an 的通项公式是关于n的一次函数 假设153是该数列的第n项 则 15 33 61 217 n 153 三点共线 策略点睛 题后感悟 1 目前证明数列 an 为等差数列的方法有两种 定义法 an 1 an d d为常数 n 1 an 为等差数列或an an 1 d d为常数 n 2 an 为等差数列 通项法 an a1 n 1 d an 是等差数列 2 本题对于 an 来说是已知递推关系求通项公式的问题 采用了借助等差数列 bn 进行求解的方法 体现了转化思想的应用 这也是由数列的递推公式求通项公式的基本方法之一 某地区2004年年底沙漠面积为9 105hm2 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况 从2005年开始进行连续5年的观测 并在每年年底将该地区现有沙漠面积比2004年年底沙漠面积增加数 单位 hm2 记录如下表 1 如果不采取任何措施 到2019年年底 这个地区的沙漠面积将大约变成多少 2 如果从2010年年初开始 采取措施 每年改造8000hm2 沙漠面积仍按原有速度增加 那么到哪一年年底 这个地区的沙漠面积将小于8 105hm2 由表可看出各年的增加数比上年增加 增加的面积数大约都是2000hm2 因此可利用等差数列来解决 解题过程 1 从表中数据看 各年沙漠面积增加数量基本相同 即约为2000hm2 设该地区从2005年开始 现有沙漠面积比2004年年底沙漠面积增加数组成数列 an 由题意知数列 an 是首项a1 2000 公差d 2000的等差数列 则2019年年底沙漠面积比2004年年底沙漠面积增加数为a15 2000 14 2000 30000故2019年年底这个地区沙漠面积大约为9 105 30000 9 3 105 hm2 题后感悟 在实际问题中 若涉及到一组与顺序有关的数的问题 可考虑利用数列方法解决 若这组数依次成直线上升或递减 则可考虑利用等差数列方法解决 在利用数列方法解决实际问题时 一定要分清首项 项数等关键问题 4 甲虫是行动较快的昆虫之一 下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度 1 你能建立一个模型 表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗 2 利用建立的模型计算 甲虫1min能爬多远 它爬行49cm需要多长时间 1 理解等差数列的定义需注意的问题 1 注意定义中 从第2项起 这一前提条件的两层含义 其一 第1项前面没有项 无法与后续条件中 与前一项的差 相吻合 其二 定义中包括首项这一基本量 且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差 2 注意定义中 每一项与它的前一项的差 这一运算要求 它的含义也有两个 其一是强调作差的顺序 即后面的项减前面的项 其二是强调这两项必须相邻 3 注意定义中的 同一常数 这一要求 否则这个数列不能称为等差数列 2 判断一个数列是否为等差数列的常用方法 1 定义法 an an 1 d 常数 n 2且n n 等价于 an 是等差数列 2 等差中项法 2an an 1 an 1 n 2且n n 等价于 an 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b为常数 n n 等价于 an 是等差数列 3 关于等差数列的通项公式的理解等差数列的通项公式为an a1 n 1 d 要理解公式中an a1 n d的含义并掌握以下几点 1 确定a1和d是确定通项的一般方法 2 由方程思想 根据an a1 n d中任何三个量可求解另一个量 即知三求一 3 等差数列与一次函数的异同点 已知数列 an a1 a2 1 an an 1 2 n 3 1 判断数列 an 是否为等差数列 说明理由 2 求 an 的通项公式 错解 1 an an 1 2 an an 1 2 为常数 an 是等差数列 2 由上述可知 an 1 2 n 1 2n 1 错因 忽视首项与所有项之间的整体关系 而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误 事实上 数列