吉林松原扶余第一中学高三数学 第二章第十二节 导数的综合应用复习课件 新人教A

第十二节导数的综合应用 1 通常求利润最大 用料最省 效率最高等问题称为 问题 一般地 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 2 利用导数研究函数的单调性和最 极 值等离不开方程与不等式 反过来方程的根的个数 不等式的证明 不等式恒成立求参数等 又可转化为函数的单调性 极值与最值的问题 利用导数进行研究 优化 3 解决优化问题的基本思想 函数的极大值一定比极小值大吗 提示 极值是一个局部概念 极值的大小关系是不确定的 即极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 解析 f x 3ax2 1 依题意f x 3ax2 1有两个实根 a 0 答案 D 2 2011 辽宁高考 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 解析 函数f x ex 2x a有零点 即方程ex 2x a 0有实根 即函数g x 2x ex y a有交点 而g x 2 ex 易知函数g x 2x ex在 ln2 上递增 在 ln2 上递减 因而g x 2x ex的值域为 2ln2 2 所以要使函数g x 2x ex y a有交点 只需a 2ln2 2即可 答案 2ln2 2 3 2012 青岛质检 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件 答案 9 4 已知f x 1 x sinx 试比较f 2 f 3 f 的大小为 解析 f x 1 cosx 当x 0 时 f x 0 f x 在 0 上是增函数 f f 3 f 2 答案 f f 3 f 2 已知函数f x xlnx 1 求函数f x 的最小值 2 试讨论关于x的方程f x m 0 m R 的实根个数 思路点拨 1 求f x 当x 0 时 判定f x 的正负变化 求出f x 的最值 2 由f x 的单调性与极值 数形结合求解 导数在方程 函数零点 中的应用 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 思路点拨 第 2 问构造函数g x ex x2 2ax 1 x R 注意到g 0 0 只需证明g x 在 0 上是增函数 运用导数处理 导数在不等式中的应用 尝试解答 1 由f x ex 2x 2a x R f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 又g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 1 本题常见的错误有两点 1 基础知识不过关 求错导数 2 不等式证明思路不清晰 不会构造函数g x 发现不了g x 与f x 的关系 导致不能运用第 1 问的结论 2 对于该类问题 可从不等式的结构特点出发 构造函数 借助导数确定函数的性质 借助单调性或最值实现转化 2011 浙江高考 设函数f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的单调区间 2 求所有的实数a 使e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 其中 e为自然对数的底数 生活中的优化问题 思路点拨 1 根据容积 体积 寻求r与l的关系 并由l 2r求出r的范围 2 先根据圆柱的侧面积与球的表面积建立造价y关于r的函数 再利用导数求该函数的最小值 1 本题的关键在于利用几何体的容积与表面积公式寻找等量关系 进而建立函数模型 但一定注意用条件l 2r及实际意义求函数定义域 2 1 目标函数的建立是运用导数解决生活中的优化问题的关键 注意选择恰当的自变量 以及实际背景所限定的变量取值范围 2 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 从近两年新课标命题看 导数与函数方程 不等式的交汇综合 以及利用导数研究实际中的优化问题 是命题的热点 而且不断丰富创新 题型以解答题的形式为主 综合考查分析 解决问题的能力 以及分类讨论 转化化归 函数与方程等数学思想方法 规范解答之四导数与不等式交汇问题的求解方法 图2 12