吉林松原扶余第一中学高三数学 第二章 第4讲 函数的单调性与最值复习课件 新人教A

第4讲 函数的单调性与最值 1 函数的单调性的定义 设函数y f x 的定义域为A 区间I A 如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间I上是单调增函数 I称为y f x 的 如果对于区间I内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间I上是单调减函数 I称为y f x 的 单调增区间 f x1 f x2 单调减区间 f x1 f x2 2 用导数的语言来描述函数的单调性设函数y f x 如果在某区间I上 那么f x 为区间I上的增函数 如果在某区间I上 那么f x 为 区间I上的减函数 f x 0 f x 0 3 函数的最大 小 值设函数y f x 的定义域为A 如果存在定值x0 A 使得对于任意x A 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最大值 如果存在定值x0 A 使得对于任意x A 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最小值 f x f x0 f x f x0 A k 1 函数y x2 6x的减区间是 D A 2 C 3 B 2 D 3 2 函数y 2k 1 x b在实数集上是增函数 则 A 12 B k 12 C b 0 D b 0 3 已知函数f x 的值域是 2 3 则函数f x 2 的值域为 D A 4 1 C 4 1 0 5 B 0 5 D 2 3 单调减区间是 0 5 指数函数y a 1 x在 上为减函数 则实数a 的取值范围为 1 a 2 4 若函数f x m 1 x2 mx 3 x R 是偶函数 则f x 的 例1 已知函数f x x2 x 0 a R 考点1利用定义判断函数的单调性 ax 1 判断函数f x 的奇偶性 2 若f x 在区间 2 是增函数 求实数a的取值范围 当a 0时 f x 既不是奇函数也不是偶函数 解 1 当a 0时 f x x2为偶函数 互动探究 2xx 1 在区间 0 1 上 1 试用函数单调性的定义判断函数f x 的单调性 考点2利用导数判断函数的单调性 函数 在区间 6 上为增函数 试求实数a的取值范围 解题思路 本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解 也可求出整个函数的递增 减 区间 再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解 解析 函数f x 的导数为f x x2 ax a 1 令f x 0 解得x 1或x a 1 当a 1 1即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 不合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 在 1 a 1 内为减函数 在 a 1 上为增函数 依题意应有 当x 1 4 时 f x 0 当x 6 时 f x 0 所以4 a 1 6 解得5 a 7 所以a的取值范围是 5 7 互动探究 mf x 0恒成立 则实数m的取值范围是 m 1 考点3函数的最值与值域例3 求下列函数的值域 程 用判别式可求值域 也可把函数解析式化成A A 解题思路 关于x的一次分式函数 可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域 也可以经过变形 分离常量 观察得出结果 关于有理分式函数 去分母化成关于x的二次方 B x x 1 B是常数 的形式来求值域 可用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程 用判别式求函数的值域 互动探究 3 求下列函数的值域 易错 易混 易漏6 求函数的单调区间时没有考虑定义域例题 2010年广东珠海北大希望之星实验学校 函数f x log2 4x x2 的单调递减区间是 A 0 4 B 0 2 C 2 4 D 2 正解 由4x x2 0得0 x 4 又由u 4x x2 x 2 2 4知函数u在 2 4 上是减函数 根据复合函数的单调性知函数f x log2 4x x2 的单调递减区间是 2 4 故选C 失误与防范 易忽略x需满足4x x2 0这个条件 C 求函数值域的常用方法有 配方法 分离变量法 单调性法 图象法 换元法 不等式法等 无论用什么方法求函数的值域 都必须考虑函数的定义域 有的函数既无最大值也无最小值 如