四川阆中东风中学校高一数学向量小结与复习课件一 人教

第五章向量小结与复习 1 阆中东风中学校 课题 向量小结与复习 1 教学目的 1 了解本章知识网络结构 2 进一步熟悉基本概念及运算律 3 理解重要定理 公式并能熟练应用 4 加强数学应用意识 提高分析问题 解决问题的能力5 认识事物之间的相互转化 6 培养学生的数学应用意识 教学重点 突出本章重 难点内容教学难点 通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别授课类型 复习课课时安排 1课时教具 多媒体 实物投影仪教学方法 自学辅导法 在给出本章的知识网络结构后 列出复习提纲 引导学生补充相关内容 同时加强学生对基本概念 基本运算律 重要定理 公式的熟悉程度 教学过程 一 本章知识结构 二 本章重点及难点 1 本章的重点有向量的概念 运算及坐标表示 线段的定比分点 平移 正弦定理 余弦定理及其在解斜三角形中的应用 2 本章的难点是向量的概念 向量运算法则的理解和运用 已知两边和其中一边的角解斜三角形等 3 对于本章内容的学习 要注意体会数形结合的数学思想方法的应用 三 本章知识要点1 向量的概念 1 向量的基本要素 大小和方向 2 向量的表示 几何表示法 坐标表示法 3 向量的长度 即向量的大小 记作 a 4 特殊的向量 零向量a 0 a 0 单位向量为单位向量 a 1 5 相等的向量 大小相等 方向相同 6 平行向量 共线向量 方向相同或相反的向量 称为平行向量记作 由于向量可以进行任意的平移 即自由向量 平行向量总可以平移到同一直线上 故平行向量也称为共线向量 2 向量的运算 1 向量的运算和性质 表1 3 向量的运算 2 向量的运算和性质 表2 4 重要定理和公式 1 1 平面向量基本定理 e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 那么 对于这个平面内任一向量a 有且仅有一对实数 1 2使a 1e1 2e2 2 两个向量平行的充要条件 a b a b x1y2 x2y1 0 3 两个向量垂直的充要条件 a b a b 0 x1y1 x2y2 0 4 重要定理和公式 2 4 线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为 即 点P的坐标为 x y 则 当 1时 得中点公式 4 重要定理和公式 3 5 平移公式设点按向量平移后得到点 则 或 曲线按向量移后所得的曲线的函数解析式为 6 正 余弦定理 正弦定理 余弦定理 四 讲解范例 例1 在四边形ABCD中 证明 四边形ABCD是矩形 分析 要证明四边形ABCD是矩形 可以先证四边形ABCD为平行四边形 再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考 证明 设 a b c d 则 a b c d O a b c d 两边平方得 a 2 2a b b 2 c 2 2c d d 2 又a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 1 同理 a 2 d 2 b 2 c 2 2 由 1 2 得 a 2 c 2 d 2 b 2 a c d b 即AB CD BC DA 四边形ABCD是平行四边形 于是 即a c 又a b b c 故a b b a a b O 四边形ABCD为矩形 评述 向量具有二重性 一方面具有 形 的特点 另一方面又具有一套优良的运算性质 因此 对于某些几何命题的抽象的证明 自然可以转化为向量的运算问题来解决 要注意体会 例2设坐标平面上有三点A B C j分别是坐标平面上x轴 y轴正方向的单位向量 若向量 2j j 那么是否存在实数 使A B C三点共线 分析 可以假设满足条件的 存在 由A B C三点共线 存在实数 使 从而建立方程来探索 解法一 假设满足条件的 存在 由A B C三点共线 即 存在实数 使 即 2j j 2 故当 2时 A B C三点共线 解法二 假设满足条件的 存在 根据题意可知 1 2 1 由A B C三点共线 即 故1 1 2 O 解得 2 当 2时 A B C三点共线 评述 1 共线向量的充要条件有两种不同的表示形式 但其本质是一样的 在运用中各有特点 解题时可灵活选择 2 本题是存在探索性问题 这类问题一般有两种思考方法 即假设存在法 当存在时 假设否定法 当不存在时 例3 将函数y 2x2的图象经过怎样的平移可得到y 2x2 4x 3的图象 解 y 2x2 4x 3 2 x 1 2 1即向右平移1个单位 再向上平移1个单位 即按a 1 1 的方向平移可得y 2x2 4x 3的图象 例4 已知函数y 2 x 2 2 1的图象经过按a平移后使得抛物线顶点在y轴上 且在x轴上截得的弦长为4 求平移后函数解析式和a 解 依题意 平移后的函数解析式为 y 2x2 n平移前顶点为 2 1 平移后顶点 0 n a 0 2 n 1 2 n 1 在y 2x2 n中 令y 0 x 函数在x轴上截得的弦长为4 平移后的解析式为 y 2x2 8 且a 2 9 例5 已知点M 2 3 N 8 4 点P在线段MN上 且 求点P坐标和 解 设点P坐标为 x y 由 又 可知 0且 从而 代入检验 得 或 点P坐标为或点P坐标 例6 ABC中 若求证 A B C成等差数列 证明 由条件和正弦定理得 在 ABC中sin B C sinA sin B C sinA sinC sin B C sin B C sinC 即2cosBsinC sinC sinC 0 cosB 1 2 B 故2B A C A B C成等差数列 例7已知在 ABC中角A B C所对的三边分别为a b c 求证 a b cotC 2 b c cotA 2 c a cotB 2 0证明 根据正弦定理 a b cotC 2 2 sinA sinB tan A B 2 2 sin A B 2sin A B 2 a b cotC 2 2 cosB cosA 同理 b c cotA 2 2 cosC cosB c a cotB 2 2 cosA cosC 三式相加可得 a b cotC 2 b c cotA 2 c a cotB 2 0 例8 在 ABC中 求证 证明 由余弦定理 知a2 b2 c2 2abcosC a2 b2 c2 2accosB 评注 对于含有a2 b2 c2的形式 常用余弦定理化边为角 五 课堂练习 1 判断题 1 O 2 0 O 3 2 选择题 已知a b为两个单位向量 下列四个命题中正确的是 A a与b相等 B 如果a与b平行 那么a与b相等 C a b 1 D a2 b23 已知A B C是直线 上的顺次三点 指出向量 中 哪些是方向相同的向量 4 已知为与的和向量 且 a b 分别用a b示表示 5 已知ABCDEF为正六边形 且 a b