山东省沂水县高中数学第三章直线与方程章末复习课学案【新人教版】.docx

第三章 直线与方程学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角的范围是0180.(2)k(3)斜率的求法：依据倾斜角；依据直线方程；依据两点的坐标2直线方程的几种形式的转化3两条直线的位置关系设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)4距离公式(1)两点间的距离公式已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|.(2)点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d；两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20的距离d.类型一待定系数法的应用例1直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程解方法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.方法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.方法三两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0，将上述方程中(x，y)换成(2x,4y)，整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10，即为所求直线方程反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法直线的方程常用待定系数法求解选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为的直线的方程解当直线过原点时，设直线的方程为ykx，即kxy0.由题意知，解得k1或k.所以所求直线的方程为xy0或x7y0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为1，即xya0.由题意知，解得a2或a6.所以所求直线的方程为xy20或xy60.综上可知，所求直线的方程为xy0或x7y0或xy20或xy60.类型二数形结合思想的应用例2求函数y|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值解将已知条件变形为y|.故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，原函数变为y|MA|MB|.则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|BM|时，y取最小值0.即，解得x0，此时点M在坐标原点， y最小0.又由三角形性质可知|MA|MB|AB|，即当|MA|MB|AB|，也即当A、B、M三点共线时，y取最大值由已知得AB的方程为y2(x1)，即yx3，令y0得x3，当x3时，y最大|AB|.反思与感悟数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合跟踪训练2已知实数x、y满足4x3y100，求x2y2的最小值解设点P(x，y)，则点P在直线l：4x3y100上，x2y2()2()2|OP|2，如图所示，当OPl时，|OP|取最小值|OM|，原点O到直线l的距离|OM|d2，即|OP|的最小值是2.所以x2y2的最小值是4.类型三分类讨论思想的应用例3过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx.令y0，得x1与x.由题意得|1|1，即k1.两条直线的方程分别为yx1，yx2，即为xy10，xy20.综上可知，所求的两直线方程分别为x1，x0或xy10，xy20.反思与感悟本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在跟踪训练3已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值解l1的斜率k1a，当a0时，l2的斜率k2.l1l2，k1k21，即a1，得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.类型四对称问题的求法例4已知直线l：y3x3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程解(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则PP的中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l.即解得P点的坐标为(2,7)(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立解得代入l的方程后，得3x3y3170.即l3的方程为3xy170.反思与感悟(1)中心对称两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1,2by1)，即P为线段P1P2的中点两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1l2，且P到l1、l2的距离相等(2)轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上跟踪训练4在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解(1)如图，B关于l的对称点B(3,3)直线AB的方程为2xy90，由解得即P(2,5)(2)如图，C关于l的对称点C(，)，由图象可知：|PA|PC|AC|.当P是AC与l的交点P(，)时“”成立，P(，).1直线l在两坐标轴上的截距相等，且点M(1，1)到直线l的距离为，则直线l的方程为_答案xy0或xy20或xy20解析当直线l经过原点时，设直线方程为ykx，由题意知.解得k1，直线方程为xy0，当在坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为1，即xya0，由题意知，得a2，直线方程为xy20或xy20.综上所述得l的方程为xy0或xy20或xy20.2已知直线l经过2xy50与x2y0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为_答案解析解方程组得直线l过点(2,1)由题意得，当l与点A和交点连线垂直时，点A到l的距离为最大，最大值为.3已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为_答案xy10解析由题意知，直线l即为AB的垂直平分线，klkAB1，得kl1，AB的中点坐标为(，)，直线l的方程为yx，即xy10.4设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是a1.1一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxB