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3 1 1空间向量及其加减运算 向量 既有大小又有方向的量 零向量 长度为0的向量 记为 单位向量 长度为1的向量 1 定义 2 表示方法 3 模 大小 4 其它向量 相等向量 相反向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 平行向量 共线向量 二 温故知新 1 向量加法三角形法则 特点 首尾相接 首尾连 特点 共起点 特点 共起点 连终点 方向指向被减数 2 向量加法平行四边形法则 3 向量减法三角形法则 加法交换律 加法结合律 4 运算律 凡涉及空间两个向量的问题 平面向量中有关结论仍适用于它们 空间向量加法的推广 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 2 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 例1 解 结论 始点相同的三个不共面的向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量 平行六面体法则 设G是线段AC 靠近点A的三等分点 则 G 设M是线段CC 的中点 则 解 解 平面向量 概念 加 减法运算 运算律 定义 表示法 相等向量 减法 三角形法则 加法 平行四边形法则或三角形法则 空间向量 加法交换律 加法结合律 小结 类比方法数形结合思想 零向量 相反向量 减法 三角形法则 加法 平行四边形法则或三角形法则 不共面的三个向量的和 平行六面体法则 3 1 2空间向量的数乘运算 1 空间向量的数乘运算 1 大小 a a 2 方向 0时同向 0时反向 0时 a 0 1 空间向量的数乘运算 2 共线向量 l A P 存在实数t 使 点P在直线l上 O B 若 则点P A B共线的充要条件是x y 1 3 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面 3 共面向量 若向量a b不共线 则向量p与a b共面的充要条件是 存在惟一的有序实数对 x y 使p xa yb 存在有序实数对 x y 使 空间一点P位于平面ABC内 O 对空间任一点O和不共线三点A B C 若 则点P在平面ABC内的充要条件是x y z 1 则x y z 1是四点P A B C共面的 1 若对任一点O和不共线的三点A B C 且有 A 必要不充分条件 C 充要条件 B 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 C 2 已知A B C三点不共线 对于平面ABC外的任一点O 确定在下列各条件下 点P是否与A B C一定共面 例2 如图 已知平行四边形ABCD 过平面AC外一点O作射线OA OB OC OD 在四条射线上分别取点E F G H 并且使求证 四点E F G H共面 O B A H G F E C D 共面 4 小结 例3已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 解 P89练习 1 2 3 A B E C F D 练习1 空间四边形ABCD中 E F分别是BC CD边的中点 化简
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