高中数学 1212等差数列的性质精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

第二课时等差数列的性质 1 进一步了解等差数列的项与序号之间的规律 2 理解等差数列的性质 3 掌握等差数列的性质及其应用 4 掌握等差中项的概念与应用 1 灵活应用等差数列的性质 求数列中的项 或通项 重点 难点 2 利用等差中项及性质设元或列方程解题 重点 3 常与函数 方程结合命题 三种题型均可出现 多为中低档题 1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项减去它的前一项所得的差等于同一常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 2 等差数列的通项公式为an a1 n 1 d an am n m d m n n 3 若数列 an 的通项公式为an 3n 1 则a1 a6 23 a2 a5 23 a3 a4 23 你能看出有什么规律吗 1 等差数列增减性对于数列an a1 n 1 d 1 当d 0时 an 为 2 当d 0时 an 为 3 当d 0时 an 为 递增数列 递减数列 常数列 2 等差中项如果在a与b中间插入一个数a 使 那么a叫作a与b的等差中项 且a 3 等差数列的其它常用性质 a a b成等差数列 am an an 1 an 2 pd1 qd2 md 1 下列说法中 正确的是 a 若 an 是等差数列 则 an 也是等差数列b 若 an 是等差数列 则 an 也是等差数列c 若存在自然数n使2an 1 an an 2 则 an 是等差数列d 若 an 是等差数列 则对任意正整数n都有2an 1 an an 2答案 d 2 若 an 是等差数列 且a1 a4 a7 45 a2 a5 a8 39 则a3 a6 a9 a 9b 20c 9 5d 33解析 方法一 a1 a4 a7 45 3a4 45又 a2 a5 a8 39 3a5 39 d a5 a4 13 15 2a3 a6 a9 3a6 3 a5 d 33 故选d 方法二 an 是等差数列 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9也成等差数列 首项为45 公差为39 45 6 a3 a6 a9 39 6 33 答案 d3 方程x2 6x 1 0的两根的等差中项为 答案 34 在等差数列 an 中 a4 a5 15 a7 12 则a2 答案 3 5 在等差数列 an 中 1 a2 a3 a10 a11 48 求a6 a7 2 a1 a4 a8 a12 a15 2 求a3 a13 3 a3 a11 10 求a2 a4 a15 解析 1 a2 a11 a3 a10 a6 a7 而a2 a3 a10 a11 48 2 a6 a7 48 得a6 a7 24 2 a1 a15 a4 a12 2a8 而a1 a15 a4 a12 a8 2 即2a8 3a8 2 a8 2 a3 a13 2a8 4 3 a3 a11 2a7 10 a7 5 又a2 a4 a15 a7 a7 a7 3a7 15 a2 a4 a15 15 等差数列性质的应用 1 在等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求数列的通项公式 2 设 an 为等差数列 若a3 a4 a5 a6 a7 450 求a2 a8 1 先利用等差数列的性质转化为求a2 a6 再求出首项a1和公差d 得出通项公式 2 既可以先求a5 也可以通过首项与公差求解 解题过程 1 a1 a7 2a4 a2 a6 a1 a4 a7 3a4 15 a4 5 a2 a6 10 且a2a6 9 a2 a6是方程x2 10 x 9 0的两根若a2 1 a6 9 则d 2 an 2n 3 若a2 9 a6 1 则d 2 an 13 2n 故an 2n 3或an 13 2n 2 方法一 a3 a7 a4 a6 2a5 a2 a8 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 180 方法二 因为 an 为等差数列 设首项为a1 公差为d a3 a4 a7 a1 2d a1 3d a1 6d 5a1 20d 即5a1 20d 450 a1 4d 90 a2 a8 a1 d a1 7d 2a1 8d 180 题后感悟 求等差数列的通项公式 必须求出首项a1与公差d 为此 利用等差数列的性质 转化为等差数列的两项的方程组求解 等差数列的项与项数有着密切的联系 由m n k l 2w可得am an ak al 2aw 在解决等差数列的有关问题中应用非常简便 1 在等差数列 an 中 1 已知a2 a3 a23 a24 48 求a13 2 已知a2 a3 a4 a5 34 a2 a5 52 求公差d 解析 1 根据已知条件a2 a3 a23 a24 48 得4a13 48 a13 12 题后感悟 1 到目前为止 判断一个数列 an 为等差数列的方法有 定义法 即an 1 an d 通项公式法 即an an b 等差中项法 无穷数列 2an an 1 an 1 n 2 且n n 2 要证三个数a b c成等差数列 只需证2b a c即可 若已知三个数a b c成等差数列 则有2b a c 1 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 2 四个数成递增等差数列 中间两数和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 策略点睛 规范作答 1 方法一 设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 依题意 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故这三个数为 2 2 6或6 2 2 方法二 设首项为a 公差为d 这三个数分别为a a d a 2d 依题意 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 这三个数为 2 2 6或6 2 2 2 方法一 设这四个数为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 依题意 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 又四个数成递增等差数列 所以d 0 d 1 故所求的四个数为 2 0 2 4 即1 d2 8 化简得d2 4 所以d 2或 2 又四个数成递增等差数列 所以d 0 所以d 2 故所求的四个数为 2 0 2 4 题后感悟 利用等差数列的定义巧设未知量 从而简化计算 一般地有如下规律 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间一项为a 再用公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数为偶数项时 可设中间两项为a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 这样可减少计算量 3 已知四个数依次成等差数列 且四个数的平方和为94 首尾两数之积比中间两数之积少18 求此四数 解析 设所求四个数为a 3d a d a d a 3d依题意可得 1 等差数列通项公式的推广由等差数列 an 的通项公式an a1 n 1 d 容易得到an am n m d 这可以看作等差数列通项公式的推广公式 事实上 am n m d a1 m 1 d n m d a1 n 1 d an 3 等差数列的 子数列 1 在公差为d的等差数列 an 中 可以有规律的选择出某些项 使它们组成新的等差数列 如数列 a2n a2n 1 an an 1 an an 1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 等都是等差数列 公差分别为2d 2d 2d 0 9d 2 若 kn 成等差数列