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双曲线的几何性质 1 范围 将方程化为 因为 所以 于是 即 2 对称性 1 几何法 观察双曲线的形状 可以发现双曲线既是A 轴对称图形 又是A 中心对称图形 2 代数法 1 将方程的x用一x代替 方程不变 双曲线关于对称 2 将方程的y用一y代替 方程不变 双曲线关于对称 3 将方程的x和y分别用一x和一y代替 方程不变 双曲线关于对称 y轴 x轴 原点 是双曲线的对称轴 是对称中心 坐称轴 原点 实轴长 A 3 顶点 令 得 因此 双曲线和x轴有两个交点 双曲线的实轴 A 双曲线的虚轴 A 虚轴长 A 双曲线和y轴有两个虚交点 实半轴长 A 虚半轴长 A 4 渐近线 双曲线的渐近线方程对于双曲线 把方程右边的 1 换成 0 得双曲线渐近线方程为 思考 对于双曲线的渐近线有怎样的结论呢 5 离心率 因为c a 0 所以离心率的取值范围是 1 离心率 双曲线的焦距与实轴的比 2 双曲线的离心率对双曲线的形状的影响 所以e越大 也越大 即渐近线的斜率绝对值越大 结论 双曲线的离心率越 大 它的开口就越 开阔 注意 焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出 双曲线的几何性质与坐标系的选择无关 即不随坐标系的改变而改变 等轴双曲线的离心率e 例1 求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 1 2 练习 课本P126 1 2 例2双曲线型冷却塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小半径为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高55m 选择适当的坐标系 求出此双曲线的方程 精确到1m 解 如图 建立直角坐标系xOy 使小圆的直径AA 在x轴上 圆心与原点重合 这时 上下口的直径CC BB 都平行于x轴 且 CC 13 2 BB 25 2 把椭圆与双曲线的性质分析 归纳 完成下表 a是实长半轴长 b是虚短半轴长 c是半焦距 a是长半轴长 b是短半轴长 c是半焦距 平面内与两个F1 F2的距离之差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹 平面内与两个F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹 把椭圆与双曲线的性质分析 归纳 完成下表 续上表 无 关于x轴和y轴对称 也关于原点对称 关于x轴和y轴对称 也关于原点对称 用计算器解方程 3 得b 25 例5点M x y 与定点F 5 0 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 求点M的轨迹 y 0 d 所以 点M的轨迹是实轴 虚轴长分别为8 6的双曲线 例5点M x y 与定点F 5 0 的距离和它到直线的距离的比是常数 求点M的轨迹 3 共焦点 的双曲线 1 与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为 2 与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为 另解 例 如图所示 过双曲线的右焦点F2 倾斜角为30 的直线交双曲线于A
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