证明不等式的一种重要方法——换元法毕业论文.doc

【标题】证明不等式的一种重要方法换元法 【作者】易 红 【关键词】不等式证明换元法简化 【指导老师】韩 最 德 【专业】数学与应用数学 【正文】1. 前言不等式的证明方法在中学数学教学中是一个难点，也是一个重点。中学数学课本中在讲授不等式证明方法时主要讲授了比较法、分析法、综合法、数学归纳法和反证法。但对于许多繁杂的不等式的证明，仅用上述方法显得困难重重，无从下手，但一旦用换元法把不等式变换后，可转换为较简单的式子，再用其它方法来证明就容易多了。换元法作为一种不等式证明方法的重要补充，通过等量代换，把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，具有独到之处。换元思想方法是一种重要的解决数学问题的方法，有着明显的数学方法论意义，对培养、提高学生解决数学问题的能力有极大的帮助。换元思想方法是处理数学问题的最基本的方法之一，在解决数学具体问题时起着不可小视的作用，特别是在处理中学数学证明不等式问题时，几乎可运用于中学数学的各个部分内容，其应用相当广泛。另外，换元思想方法已经从我们最开始接触的把某个代数式看成一个新的未知数来施行变量替换推广到把某数学问题的整体、或局部，或根据需要人为创设的未知数等视为新的未知量来进行转化，这个推广的过程在一定的程度上完全舍弃了原问题的内容,这表明它是一个数学抽象的过程.因此,换元思想方法具有应用的广泛性和高度的抽象性。换元思想方法具有某些数学美的特征，在做换元思想方法的过程中，根据所处理数学问题的需要，灵活地采用不同方式创设新的变元，从而使原数学问题变成一个易于解决的新的数学问题。施行换元后，所要解决的数学问题或者使其本身的条件环境变得充分使得处理的方法简单；或者使其本身的结构组成变得清晰使得逻辑性简单；或者使其问题的实质得到转化使得所需的概念原理简单；或者使其处理的步骤减少使其表述方式简单。换元思想方法就是对一个较复杂的问题给出一个较简单的回答，可方便快捷的解决问题,这表明它体现着数学的简单美。换元思想方法是化归法的一种具体形式，一个数学问题经过换元思想方法的处理后，变成了另外一个新的问题，从这一变化的过程来看，新的问题比旧的问题要简单容易，并为我们所熟悉，可以是在原问题的基础上特殊化或一般化得到的，这正体现了由未知到已知、由难到易、由繁到简的化归，“一般”与“特殊”之间的化归。因此，用换元法证明不等式体现了与其它方法的新颖绝妙之处。中学数学教学的重要任务之一就是要培养、提高学生解决数学问题的能力，这也是我们要达到的教学目的之一。让学生充分理解并熟练掌握数学科学中那些最基本的解题工具，是我们当前教学中必须认真面对的，换元思想方法就是那些最基本的解题工具之一，也是数学科学的基础。只有理解了换元思想方法在数学方法论上的意义，我们就可以用它来帮助我们处理一些具体的数学问题，达到化难为易，化繁为简、开拓灵活巧妙的解题思路的目的。同时，我们还应充分认识到换元思想方法所具有的普遍性、基本性和重要性，这样我们才能够自觉地通过我们的教学实践让学生真正掌握这一解题工具，使学生解决数学问题的能力得以提高。自从上世纪60年代以来，一些数学工作者对研究不等式的性质和证明已经取得许多重要的进展。例如，著名数学家华罗庚教授提出“构造几何模型解不等式”，它的作用是根据问题的结构特征，联想有关的几何图形，巧妙地将不等式问题转化为几何问题，从而找到较为简单的解法。由此可知，通过代换思想证明不等式和解决不等式问题在很早已被提出，尽管用换元法证明不等式已经有了很多研究，但由于这种方法的应用分布在中学数学的不同章节、不同问题中，学生学习时往往只会孤立的运用这种方法，机械的照抄照搬，对于何时能用换元法，用那种换元法，用换元法时要注意什么问题等不太明确。同时似乎在提示我们，为了更好地运用换元法，必须对换元法进行分类。下文将先简单介绍用换元法证明不等式，认识和体会换元法在证明不等式中的独到之处和桥梁作用，从而更好地利用重要不等式和其他证明方法。然后再通过实例将换元法系统化，并总结出它们在证明不等式时的适用条件。2. 换元法的作用换元法是数学解题中的一种重要的思想方法，在中学数学中有着广泛的应用。在证明不等式时，根据题设条件，进行合理的变量代换，可以改变特征式的结构特征，便于进行比较、分析、为综合运用其它方法和有关知识证明不等式创造条件。从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。例1已知a、b、cR+，求证：证明:令,(x,y,z),则有=.从而原不等式转化为证明.即() 9成立,而这个不等式已被学生所熟悉.例2.若a,b,c,求证.证明:令,(x,y,z),则a=,b=,c=.所以,=+(.例3.已知a,b,c,且a b c,求证.证明:令则.因此欲证明的不等式转化为证明不等式这个不等式是学生最熟悉的形式.例4.设a,b,c,求证.证明:令,则(a,b,c).原不等式可转化为,即,+,三式子相加可证得上式成立.例5.设，=(a0),求证:x,y,z都不小于零,且都不大于.证明:设x=, y=, z=,且.于是=()+()+()=+,+=,即=.又故+=,即=,解得-,所以0.同理得0y,0z.通过以上几例可以看出,在不等式的证明中运用换元法,能把高次变为低次,分式变成整式,无理式变成有理式,不仅能够简化不等式的证明过程.尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式,通过换元变换形式以揭示内容的实质,可收到事半功倍之效.3.换元法系统化换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易，化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元法的思想去解就很方便。众所周知的“曹冲称象”的故事，曹冲把大象的重量通过水的浮力代换成石头的重量来称出，用的就是换元法的思想与方法。换元法在不等式的证明中的地位和作用是不言而喻，为了充分利用换元法，必须对换元法系统化，下面介绍各种证明不等式的换元思想与方法。3-1整体换元有些不等式的证明，若从局部入手困难，不妨把整体看作一个元来处理，这就是整体换元。例6.求证:对任意实数3.证明:设,因为0.所以若若0.解得13() 综上13,即13成立.例7.设sin,求证:-.证明:令=,则由sin,=两式平方相加得所以,-.故-成立.由以上例子可知，用其它方法或从局部入手较困难时，将不等式中变量和参数的某一整体用一个字母代换，就能够排除视觉干扰，化繁为简，从而发现规律，方便推理或运算。3-2代数换元将所证不等式中的某些数值用字母代换，这称为代数换元。例8.求证:.证明:设2004=.因为.=两端同时开.所以有成立.例9.设求证|.证明:令若故上方程有两相等实根,即所以,即.故|成立.由以上例子可知，换元法不仅针对字母，也适用于数值。将复杂的数值运算，通过换元转化成字母运算，便于发现关系，揭示规律，从而运用已有公式和结论，有时会起到柳暗花明的功效。3-3均值换元利用各元素与它们和的平均值之间的关系引进辅助元素表示各元素的方法称之为均值换元.3-3-1对题设部分实施均值换元例10.设,求证:证明:因,故可设(0),则原不等式变成()(),整理得0,故原命题得证.3-3-2对结论部分实施均值换元例11.已知0,求证.证明:令=又设,=,其中.(4)+()+()=+.又,故上式可写成7=.7,故.原命题得证.3-3-3创造条件使用均值换元例12.设,求证:.证明:注意到.令(0,).代入原不等式得.整理得,上式显然成立,故原命题得证.由以上例子可知，若题目中有+=的条件时，常考虑作如下换元，设()，此时,用均值换元法证明不等式是一种非常有效的手段，其独特功能是能揭示量与量的不等关系，达到减元的目的，使证明更加简捷、直观有效。3-4设比值换元将已知条件中的等比式的比值用一个新元来表示，这种换元称为比值换元。例13.已知.证明:设于是把以上各式代入得=.例14.若.求证:.证明:令,.则.所以,故成立.由以上例子可知，对于那些在已知条件中含有若干个等比式问题，往往总先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可方便求解。3-5分母整体换元一些分母复杂的分式不等式的证明，可考虑把分母看作一个整体进行交换，以使分母变得简洁些，进而把问题解决，故称此法为分母整体换元。例15.设.证明:设0,0.解得.从而=.=所以原不等式成立.例16.设为非负实数,且求证:+.证明:设则0,.+=+=所以原不等式得证.通过上面的解题过程可以看出，利用分母整体换元法可使一些分式不等式的解答变得更加容易和简捷，但是，应用这一方法时要注意把分母换元后，应能够用分母整体把分式表示出来，而且此时的形式也应该简单一些，否则会使问题变得不易解决。3-6分式换元对于含约束条件+=1的某些不等式，可考虑换元：(i=1,2,n),由于把不等式中的字母换成了分式，故称之为分式换元。例17.已知a,b,c,且.求证:.证明:由已知可设,()所以所以=所以得证.例18.已知,求证:9.证明:因为于是令,(所以=9.当且仅当一般地，在证明含有条件(为常值)时,可以采用分式代换(i=1,2,n),常使问题的结构向有利的方面发展,体现了数学无与伦比的解题之美妙.3-7三角换元将不等式中的字母换成角的三角函数形式,再运用三角知识解题,将这样的代换称为三角换元.例19.已知,证明-().证明:可设.-得证.例20.已知,求证:.证明:可设=,得证.一般地,对结构或范围适合某些三角函数关系的式子,通过三角换元转换成三角函数,充分利用三角函数的性质,进行三角公式的变换,达到减元或降次的目的.3-8设差换元根据已知条件和不等式的特点引进辅助元素表示二元素的方法,我们称之为设差换元.例21.若abc,求证:.证明:设,则由基本不等式,故原不等式得证.例22.已知0,求证:.证明:考虑到结论具有轮换的特点,不妨假设可令,则.-=0.成立.一般地,对给定字母顺序（如abc）的不等式或具有轮换特点（任意互换两个字母,代数式不变）的不等式,可考虑使用设差换元,通过换元达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简.用此方法来证明条件不等式思路清晰,过程简捷,新奇独特,可以培养学生思维的多样性,灵活性,提高解题的技能技巧.3-9设倒数换元将已知条件中的某些变量或参数的倒数用一个新元来代换,将这样的代换称为设倒数换元.例23.设试证：.证明：为了证明，先给出式的推广，设2，且又已知,可设想把已证明过的式作为公式，用来证明式，关键是将，变成的规范形式。由于式是式的特例，故只需证式，作倒数代换，则0，式的左端为M，注意到0.则有M=当式得证，所以式成立，原不等式得证。例24.求证：证明：设，则又，将各不等式两边相乘，得所以，故原不等式得证。从以上例子可以看出,通过设倒数换元,可以改变不等式的结构,简化不等式,便于观察规律,利用基本不等式.3-10复变量换元将不等式中的参数或变量的某一局部用复数的模来代换,将这样的代换称为复变量换元.例25.已知求证.证明:所证不等式即为.令,.所以=|+|-|=|=|=.即得证.例26.a,b,c,求证:.证明:令,.则=|+|+|+|=|=.通过复变量代换,将某些无理不等式转换为复数模的不等式来证明,充分借助复数的性质,起到独特而新颖的作用.4.总结不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位，而不等式的证明因其方法灵活多变，综合性强而成为中学数学的一个重难点。由以上的例子可以看出，换元法在证明不等式中具有独到之处和桥梁作用，对结构比较复杂，量与量之间的关系不太直观的命题，通过合理代换，可以改变特征式的结构特征，将所研究的问题化繁为简，化难为易，化生为熟，化隐为显，从而起到消元,降次，减少运算，变换视角等作用，为综合运用其他方法和有关知识创造条件。例如，在证明不等式时，通过换元法能化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式，将代数问题转化为几何问题