广西钦州灵山第二中学高中数学 抛物线的几何性质课件 新人教A选修

抛物线的几何性质 第二课时 2020年4月16日星期四 复习 1抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0 x 0 y 0 y 0 0 0 x轴 y轴 1 2 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 3 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式 zxxk 通过焦点的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦 F A 焦点弦 焦点弦公式 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式 B y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 例1 1 已知点A 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则P 2 抛物线的弦AB垂直x轴 若 AB 则焦点到AB的距离为 4 2 3 已知直线x y 2与抛物线交于A B两点 那么线段AB的中点坐标是 例1 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程及焦点的位置 F y x O 解 如图所示 在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系 使反光镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 A B 设抛物线的标准方程是 由已知条件可得点A的坐标是 40 30 代入方程可得 所求的标准方程为焦点坐标为 分析 观察图 正三角形及抛物线都是轴对称图形 如果能证明x轴是它们的公共的对称轴 则容易求出三角形的边长 拓展延伸 例3 已知直线l x 2p与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 证明 由题意得 A 2p 2p B 2p 2p 所以 1 1因此OA OB 变题1若直线l过定点 2p 0 且与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 证明 1 当直线l斜率存在时设其方程为y k x 2p 所以OA OB 代入y2 2px得 可知 又 2 当直线l斜率不存在时设其方程为x 2p 变题2 若直线l与抛物线 2px p 0 交于A B两点 且OA OB 则 直线l过定点 2p 0 验证 由得所以直线l的方程为即而因为OA OB 可知推出 代入得到直线l的方程为所以直线过定点 2p 0 练习 1 一个正三角形的三个顶点 都在抛物线上 其中一个顶点为坐标原点 则这个三角形的面积为 例1 已知动点P到定点F和到定直线l F不在定直线l上 的距离的比为 则P点的轨迹是 变题 已知点F不在l上 动点P到和到定直线l的距离和到定点F距离的比为 则P点的轨迹是 变题 已知动点P到定