高等代数选讲 第一讲 数域P上的一元多项式环_第1页
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1 第一讲数域P上的一元多项式 目录下页返回结束 2 一 数域的定义 首页上页下页返回结束 3 二 例 首页上页下页返回结束 4 首页上页下页返回结束 5 首页上页下页返回结束 6 首页上页返回结束 三 一元多项式的基本概念 其中称为系数在数域P中的一元多项式 或者简称为数域P上的一元多项式 定义2设n是一非负整数 形式表达式 常用f x g x 或f g 来表示一元多项式 设P是一个数域 x是一个符号 或称文字 7 四 次数公式 定理设f x g x 是数域P上的两个非零多项式 则 定义所有系数在数域P上的一元多项式的全体 称为数域P上的一元多项式环 记为P x P称为P x 的系数域 8 9 1 式中的g x 与r x 分别称为g x 除f x 所得的商式与余式 五 带余除法 10 解 故商式 余式 于是 11 12 六 整除概念及性质 定义设f x g x P x 如果存在h x P x 使f x g x h x 则称g x 整除f x 记为g x f x 并称g x 是f x 的因式 f x 是g x 的倍式 当g x 不整除f x 时 记为 注 1 整除 只是多项式间的一种关系而不是一种运算 2 任何一个多项式g x 都能整除零多项式 3 零多项式能且只能整除零多项式 13 4 零次多项式 即数域P中非零数 是任何多项式的因式 且反之亦然 14 多项式的整除有如下的一些基本性质 整除的传递性 15 16 七 最大公因式 例如对于任意多项式f x f x 就是f x 与0的一个最大公因式 特别地 两个零多项式的最大公因式就是0 唯一 17 这种方法称为辗转相除法 18 即两个多项式的最大公因式 如不计零次因式的差异是唯一的 当f x g x 不全为零时 用记号 f x g x 来表示f x 和g x 的首项系数为1的最大公因式 由最大公因式定义可知 若都是f x 与g x 的最大公因式 则于是由整除的性质 19 定理2对任意f x g x P x 其最大公因式d x 存在 且有u x v x P x 使d x u x f x v x g x 2 1 适合定理条件的u x v x 不是唯一的 2 对任意的u x v x 由 20 八 互素 定义7如果 f x g x 1 则称f x 与g x 互素 显然 f x 与g x 互素它们除零次因式外不再有其它公因式 几个简单事实 1 若f x 与g x 互素 则f x 与g x 不
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