初中数学总复习之最值问题

初三总复习之关于“最值”问题的探索安溪县金火中学陈福建教学目标：1、培养学生知识的迁移能力，利用相关的知识解决有关的实际问题。2、培养学生的化归思想，提高解题的综合能力。教学重难点：重 点：利用函数模型、利用几何模型求最值。难 点：利用几何模型求最值。教学过程：所谓“最值”问题，即求一个变动的数量在某范围内取最大或最小值的问题。纵观近几年的中考试题试卷，求“最值”一直是学业考试命题的热点问题。求“最值”的问题是一个综合能力的考查，从内容上来看它涉及初中数学的核心知识；从方法上来说，它涉及代数式的变形与变换，数形结合，换元法，构造法，分类讨论，内容与方法上的转换等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析问题，解决问题的能力。所以无论从考试的角度及能力培养上，在教学中应高度重视。下面将结合一些典型的例子，浅谈“最值”问题的解题策略。本节课就围绕“最值”中涉及到函数和几何两大模型展开教学探索。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：1、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。2、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1） 归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小.条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）（2） 归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的绝对值最大值”时，大都应用这一模型。直线l两旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA-PB的值最大.条件：如下右图，、是直线两旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使PB-PA的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接BA，并延长BA与直线l的交点即为P，B则PA-PB的最大值为 AB.（不必证明）BAALLPP二、模型应用：A1、利用函数模型求最值例1、某市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子吨，乙种货车可装李子吨和桃子3吨（1）共有几种租车方案？（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元，请选出最佳方案，此方案运费是多少解：（1）设租用甲种货车辆，依题意得：解不等式得不等式的解集是因为取正整数，所以=3,4,5则共有三种方案。（2） 设需要的总运费为元，则，且随增大而增大，即当=3时，有最小值=5100元例2、农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业。他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，设计了如图一个矩形的羊圈。他利用了自家房屋一面长15m的墙，设AB的长为x m，羊圈的面积为y m2 ,（1）求y与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围）（2）函数的性质及草图求y的最大值解：（1） （）（2） -20 ，且当时，y随x的增大而减小当x=12.5时，y的最大值=187.5 m2说明：可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。2、利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”例3、 如图，的半径为2，点在上，是 上一动点，则的最小值是_；CABOP说明：本题的关键在于将“在直线上确定一点，使它到直线同侧的两点距离之和最短”，转化为“直线异侧两点距离之和最短”，进而再用“两点之间的所有连线中，线段最短。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”例4、 已知在抛物线上有一点A（3，3），试问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使POPA的值最大。若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：设存在点P，使得POPA的值最大。抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为B，则点，点、点B关于直线对称，要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当P、B、A三点在同一直线上时，的值最大，且点P的坐标为（本题也可以作A点关于直线的对称点）。yAAxOBPABECPD说明：这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线对称轴的性质。三：课堂练习题1、一次函数，若，当= 3 时，有最 值为 2、抛物线 ，当= 时，有最 值为 3、如图，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；四：课堂小结：本节课我们利用函数和几何的两个模型解决我们数学问题中的“最值”问题。希望同学们通过学习与对比熟练掌握各种题型的解题方法。五、作业：如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由OBACyx解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛