2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学案苏教版.docx

1.2.1常见函数的导数学 习 目 标核 心 素 养1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想(难点)2牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数(重点)3掌握函数yax(a0，a1)与ylogax(a0，a1)的求导公式(易混点)1.通过几个常见函数的导数，提升逻辑推理素养2通过对求导公式的应用，提升数学运算素养.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)axf(x)axln_a(a0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_x思考：(1)任何函数都有导函数吗？(2)函数f(x)a2的导函数是f(x)2a吗？提示(1)不是，例如函数y2x，x1,2,3,4没有导函数(2)不是，因为函数f(x)a2是常数函数，所以其导函数为f(x)0.1下列结论不正确的是()A若y0，则y0B若y5x，则y5C若yx1，则yx2D若yx，则yxD由导数的公式可知，yx的导数为yx.2若函数f(x)10x，则f(1)等于()AB10C10ln 10 DCf(x)10xln 10，f(1)10ln 10.3已知f(x)ln x，则f(e)的值为_f(x)，f(e).4曲线y在点M(3,3)处的切线方程是_xy60y，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为y3(x3)，即xy60.利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y3x；(5)ylog5x.思路探究首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式解(1)y(x12)12x11.(2)y(x4)4x5.(3)y()(x)x.(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x).1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解2对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误3要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别1下列结论，(sin x)cos x；x； (log3x)；(ln x).其中正确的有()A0个B1个C2个D3个C(sin x)cos x，正确；x，错误；(log3x)，错误；(ln x)，正确；所以正确，故选C.利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是ssin t，(1)求质点在t时的速度；(2)求质点运动的加速度思路探究(1)先求s(t)，再求s.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导解(1)v(t)s(t)cos t，vcos .即质点在t时的速度为.(2)v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.1速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值2(1)求函数f(x)在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)cos x在处的导数解(1)f(x)(x)x，f(1).(2)f(x)sin x，fsin .导数公式的应用探究问题1f(x)x，f(x)x2，f(x)均可表示为yx(为常数)的形式，其导数有何规律？提示(x)1x11，(x2)2x21，()x，(x)x1.2点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离提示如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得，最小距离为.【例3】已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程思路探究求出直线PQ的斜率即为所求切线的斜率，设出切点后求导数，导数值等于斜率值解因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，又因为PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，所以k2x01，即x0.所以切点为M.所以所求切线方程为yx，即4x4y10.1(变换条件)是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由解假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k1，所以与PQ垂直的切线斜率k1.设切点为(x1，y1)，由于y2x，所以2x11，则x1，y1，切线方程为y，即4x4y10.2(改变问法)已知条件不变，求P点处的切线方程，Q点处的切线方程解由题意得曲线在x1处的切线斜率为2，则在P点处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.曲线在Q点处的切线斜率k4，Q点处切线方程为y44(x2)，即4xy40.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点1熟记基本初等函数的求导公式，注意f(x)ax与f(x)ex及f(x)log2x与f(x)ln x之间求导公式的区别与联系2利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)指数函数的导数还是同底数的指数函数()(2)cos .()(3)若f(x)x5，则f(x)5x4.()(4)若f(x)4x，则f(x)x4x1.()答案(1)(2)(3)(4)2若ycos ，则y()ABC0 DCycos ，y0.选C.3已知函数ykx是曲线yln x的一条切线，则k_.设切点为(x0，y0)，y，k，yx，又点(x0，y0)在曲线yln x上