数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例.doc

数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例1、算法设计方案：求、和的值：表示矩阵的按模最小特征值，为求得直接对待求矩阵A应用反幂法即可。、：已知矩阵A的特征值满足关系 ，要求、及时，可按如下方法求解：a 对矩阵A用幂法，求得按模最大的特征值。b 按平移量对矩阵A进行原点平移得矩阵，对矩阵B用反幂法求得B的按模最小特征值。c则：，即为所求。求和A的与数最接近的特征值（k=0，1，39）：求矩阵A的特征值中与最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法：先求矩阵 B=A-I 对应的按模最小特征值，则+即为矩阵A与最接近的特征值。重复以上过程39次即可求得（k=0，1，39）的值。求A的（谱范数）条件数和行列式：在（1）中用反幂法求矩阵A的按模最小特征值时，要用到Doolittle分解方法，在Doolittle分解完成后得到的两个矩阵分别为L和U，则A的行列式可由U阵求出，即：det(A)=det(U)。 求得det(A)不为0，因此A为非奇异的实对称矩阵，则：，和分别为模最大特征值与模最小特征值。2、程序源代码：#include#include#include#define N 501/列#define M 5/行#define R 2/下带宽#define S 2/上带宽#define K 39#define e 1.0e-12/误差限float AMN;/初始矩阵float uN;/初始向量float yN,yyN;float maximum,value1,value2,value_1,value_N,value_s,value_abs_max;const float b=0.16f,c=-0.064f;int max_sign,max_position;void Init_matrix_A()/初始化矩阵Aint i;for(i=2;iN;i+)A0i= c;for(i=1;iN;i+)A1i= b;for(i=0;iN;i+)A2i= (1.64-0.024*(i+1)*sin(0.2*(i+1)-0.64*exp(0.1/(i+1);for(i=0;iN-1;i+)A3i= b;for(i=0;iN-2;i+)A4i= c;void Init_u()/初始化迭代向量int i;for(i=0;iN;i+)ui=1.0;void Get_max()/获得绝对值最大的数值的模int i;max_position=0;maximum=fabs(u0);for(i=1;iN;i+)if(maximumfabs(ui)max_position=i;maximum=fabs(ui);if(umax_position0)max_sign=-1;else max_sign=1;void Get_y()/单位化迭代向量int i;for(i=0;iN;i+)yi=ui/maximum;void Get_u()/获得新迭代向量int i;u0=A20*y0+A11*y1+A02*y2;u1=A30*y0+A21*y1+A12*y2+A03*y3;uN-2=A4N-4*yN-4+A3N-3*yN-3+A2N-2*yN-2+A1N-1*yN-1;uN-1=A4N-3*yN-3+A3N-2*yN-2+A2N-1*yN-1;for(i=2;iN-2;i+)ui=A4i-2*yi-2+A3i-1*yi-1+A2i*yi+A1i+1*yi+1+A0i+2*yi+2;void Get_value()/获得迭代后特征值value2=value1;value1=max_sign*umax_position;void Check_value()/幂法第二迭代格迭代Init_u();Get_max();Get_y();Get_u();Get_value();while(1)Get_max();Get_y();Get_u();Get_value();if(fabs(value2-value1)/value1)e)break;void The_value()/获取绝对值最大的特征值_501Check_value();value_abs_max=value1;void The_Other_value()/获取特征值_1int i;float value_temp=value1;for(i=0;iN;i+)A2i-=value_temp;Check_value();value1+=value_temp;if(value1value_temp)value_1=value1;value_N=value_temp;elsevalue_N=value1;value_1=value_temp;int min(int a,int b)/两值中取最小if(ab)return a;elsereturn b;int max(int a,int b)/两值中取最大if(ab)return b;elsereturn a;void Resolve_LU()int k,i,j,t;float temp;for(k=1;k=N;k+) for(j=k;j=min(k+S,N);j+)temp=0; for(t=max(max(1,k-R),j-S);t=k-1;t+) temp+=Ak-t+St-1*At-j+Sj-1;Ak-j+Sj-1=Ak-j+Sj-1-temp; for(i=k+1;i=min(k+R,N);i+) temp=0;for(t=max(max(1,i-R),k-S);t=k-1;t+) temp+=Ai-t+St-1*At-k+Sk-1;Ai-k+Sk-1=(Ai-k+Sk-1-temp)/ASk-1; void Back_substitution()/方程组回代过程int i,t;float temp=0;for(i=2;iN+1;i+)for(t=max(1,i-R);t0;i-)temp=0;for(t=i+1;t=min(i+S,N);t+)temp+=Ai-t+St-1*ut-1;ui-1=(yi-1-temp)/ASi-1;double Det_matrix()/求矩阵行列式值int i;double det=1;Init_matrix_A();Resolve_LU();for(i=0;iN;i+)det=det*A2i;return det;float Get_norm()/获得迭代向量模int i;float normal=0;for(i=0;iN;i+)normal+=ui*ui;normal=sqrt(normal);return normal;void Get_yy(float normal)/迭代向量单位化int i;for(i=0;iN;i+)yi=ui/normal;yyi=yi;void Get_value_s()/获得绝对值最小的特征值int i;value2=value1;value1=0;for(i=0;iN;i+)value1+=yyi*ui;value1=1/value1;void Value_min()/反幂法求绝对值最小的特征值float norm=0;int count=0;value1=0,value2=0;Init_u();norm=Get_norm();Get_yy(norm);Back_substitution();Get_value_s();while(count10000)count+;norm=Get_norm();Get_yy(norm);Back_substitution();Get_value_s();if(fabs(value2-value1)/value1)e)break;value_s=value1;float Get_cond_A()/求矩阵条件数float cond1;cond1=fabs(value_abs_max/value_s);return cond1;void Value_translation_min()/偏移条件下反幂法求特征值int i,k;float tr;for(k=1;kK+1;k+)tr=value_1+k*(value_N-value_1)/40;Init_matrix_A();for(i=0;ii%d=%.13en,k,k,value_s);void main()float cond;double value_det;printf(Contact me: 731363227n);Init_matrix_A();/初始化矩阵AThe_value();/获取绝对值最大的特征值_501The_Other_value();/获取特征值_1printf(1=%.13en,value_1);printf(501=%.13en,value_N);value_det=Det_matrix();/求矩阵行列式值Value_min();/反幂法求绝对值最小的特征值printf(s=%.13en,value_s);cond=Get_cond_A();/求矩阵条件数Value_translation_min();/偏移条件下反幂法求特征值printf(cond_A=%.13en,cond);printf(value_det=%.13en,value_det);3、程序运行结果：4、迭代初始向量的选取对计算结果的影响：本次计算实习求矩阵A的具有某些特征的特征值，主要用到的方法是幂法和反幂法，这两种方法从原理上看都是迭代法，因此迭代初始向量的选择对计算结果会产生一定影响，主要表现在收敛速度上。通过实际调试发现，对某些特殊的迭代初始值，确实对收敛结果及收敛速度产生影响，具体如下所列：以下结论建立在float数据类型基础之上；1.迭代初始值ui=c(i=1,2,501)且c的绝对值值极大（例如1.0e12以上），收敛结果可以稳定但收敛速度减慢，其原因为c的数量级与矩阵A中元素数量级差距过大，导致迭代次数以及运算量增大；2.迭代初始值ui=c(i=1,2,501)且c的绝对值值极小（例如1.0e-12以下），收敛结果并不稳定，且收