概念学习的APOS

数学概念学习的APOS理论 contents 一 来自教材的实例 挣脱无限经历了两次蜕变 第一次蜕变是用任意实现无限 将区间转化为与自然数相关的任意一组无穷数列 离散化处理 第二次蜕变是借传递承载永远 依据传递法将无穷数列转化为两相邻数的比较 二 数学对象的二重性 数学内容可区分为过程和对象两个侧面 所谓过程 就是具备了可操作性的法则 公式 原理 对象则是数学中定义的结构关系 在数学中 特别在代数中 许多概念既表现为一种过程操作 又表现为对象 结构 例 三角函数cosA x r既是除法 又是商 多项式5 x a 7y既是符号运算过程 又是符号结构关系 对象小小的等号 也具有二重性 作运算的指令 表示相等关系的符号 开始时极限是一个过程 当n趋向于无穷时数列 an 的发展趋势 事实上 它后来又被当作为一个 对象 一个被其它运算作运算的对象 例 lim an bn liman limbn如果还是把liman limbn当作发展过程 我们该怎样运算liman limbn 在过程阶段 概念是 一系列步骤或算法长处 可操作 容易模仿 相对直观短处 动态性 前后次序 细节较多在对象阶段 概念是 静态的结构 稳定的关系 完整的对象便于抓住其实质 一个数学概念常常具有如下二重性 过程 对象 算法 结果 操作行为 结构关系 它们可以分别具有以下特征 动态 静态 细节 整体 历时 继时 共时 同时 概念形成顺序 先过程 后对象 由过程到对象的先后顺序 是符合人类整体认识规律的 数学史上概念的产生 形成的许多例子遵循了这一个发展方式 个人的认知与人类的认识史在这一点上是一致的 yw认知的历史相似性原理 函数概念的提出 最初使用的是具有运算性质的 变量观点 的定义 经历了一次一次改进 最后发展为关系观点的概念 函数是有序数对的集合 此时 它完全脱离了运算 成为一个结构性的对象 Sfard等人进一步的结论 概念的认知通常从过程开始 而后转移到对象 二者作为一个整体 共存于思想中 在不同的场合中起不同的作用 三 APOS理论的涵义 1 数学教学的目的杜宾斯基认为 一个人是不可能直接学习到数学概念的 更确切地说 人们透过心智结构 mentalstructure 使所学习的数学概念产生意义 如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构 那么他几乎自然就学到了这个概念 相反的 如果一个人无法建立起适当的心智结构 那么他学习数学概念几乎是不可能的 教学的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构 三 APOS理论的涵义 2 理论的出发点与基本假设 理论的出发点杜宾斯基等人认为 任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对 学生是如何学习数学的 及 什么样的教学计划可以帮助这种学习 的理解 而不仅仅是陈述一些事实 正是基于这样的考虑 杜宾斯基等人建立了APOS理论 第一步 过程操作 第二步 对象形成 三 APOS理论的涵义 理论的基本假设数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得的 在这个过程中 个体依序建构了心理活动 Actions 程序 Processes 和对象 Objects 最终组织成用以理解问题情境的图式结构 Schemas 按照杜宾斯基自己的说法 APOS理论可以看作是对皮亚杰的 反思性抽象 reflectiveabstraction 的扩展 一 APOS理论的涵义 补充皮亚杰认为 数学抽象活动的基本性质是一种 自反抽象 从而与通常所谓的 经验抽象 empiricalabstraction 有着重要的区别 具体地说 按照皮亚杰的观点 所谓的 经验抽象 即是以真实的事物或现象作为直接的原型 也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性 与此相反 自反抽象 却并非是关于物质对象的 而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动 或者说 这即是对人类自身的活动进行反思的直接结果 四 APOS理论的理论模型 1 四阶段模型杜宾斯基认为 学生学习数学概念就是要建构心智结构 这一建构过程要经历以下4个阶段 第一阶段 操作 或活动 Action 阶段这里的活动 操作 是指个体通过一步一步的外显性 或记忆性 指令去变换一个客观的数学对象 四 APOS理论的理论模型 数学教学是数学活动的教学 操作运算行为是数学认知的基础性行为 学生与数学家一样 要亲自投入 通过实际经验来获得知识 虽然这种实践性与物理 化学 生物等实验科学的观察试验行为所不同 但数学活动仍需实际操作演算和头脑中的心理操作 思想实验 没有物理操作和心理的操作 数学概念将成为无源之水 无本之木 所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转换 这个对象实质上是一种外部刺激 活动 是指个体通过一步一步的外显性 或记忆性 指令去变换一个客观观对象 例如 理解函数概念需要进行活动或操作 四 APOS理论的理论模型 第二阶段 过程 Process 阶段当 活动 经过多次重复而被个体熟悉后 物理操作就可以内化为一种叫做 过程 process 的心理操作 有了这一 程序 个体就可以想象之前的活动 而不必通过外部刺激 他可以在脑中实施这一程序而不需要具体操作 他甚至还可以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合 四 APOS理论的理论模型 例如 一旦学生认识到所谓函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值 而不必再进行具体的运算时 他就已经完成了这种过程模式的建构 把上述操作活动综合成函数过程 一般地有x 2x 其它各种函数也可以概括为一般的对过程 x f x 想象为输入 输出的 函数机 四 APOS理论的理论模型 第三阶段 对象 object 阶段当个体能把概念的形成 过程 作为一个整体进行操作和转换的时候 这一过程就变成了个体的一种相对独立的心理 对象 表现为个体通过前面的抽象 认识到了概念的本质 对其赋予形式化的定义及符号 使其达到精致化 成为一个具体的对象 在以后的学习中能够以此为对象进行新的活动 其中 精致化 的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的 深加工 对 概念要素 进行具体界定 以使学生建立更清晰的概念表象 获得更多的概念例证 对概念的细节把握得更加准确 理解概念的各个方面 获得概念的某些限制条件等 四 APOS理论的理论模型 概念进入 对象 状态时 便呈现为一种静态结构关系 成为一个 实体 易于整体把握性质 这时一个完整的理解才真正成型 对象 在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用 既是概括的结果 又是新的概括的起点 四 APOS理论的理论模型 第四阶段 图式 schema 阶段一个数学概念的 图式 是指由相应的 活动 程序 对象 以及与某些一般原理相联系的其他 图式 所形成的一种个体头脑中的认知框架 它可以用于解决与这个概念相关的问题 其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式 从而就会作出不同的反应 2 APOS循环杜宾斯基认为 活动 过程 对象也可以看作是数学知识的三种状态 而图式则是由这三种知识构成的一种认知结构 虽然这四者具有等级结构 也就是说 一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础 但实际上个体对某一数学概念的理解并不只是线性的 而是循环的 例如函数概念 学习者一开始的 活动 是把函数看作一个简单的公式 其中含有一些可以运算和赋值的字母变量 随后 函数被看作是一种可以 输入一输出 的机器 函数机 于是得到了初步的 程序 但是 当学生遇到更为复杂的函数表达式时 往往又回到了 活动 阶段 并在 活动 的基础上 又进一步完善了函数 程序 如此经过多个循环之后 学生才最终形成明确而完整的函数 对象 APOS理论的四阶段模型 APOS循环图 在上述循环中 活动的内化 interiorization 是数学课堂的一种 日常活动 例如 为了考察二次函数在某个区间上的单调性 学生先具体比较一些函数值的大小 这属于离散状态的 活动 阶段 这些 活动 经过多次重复后 慢慢就内化为一种心理结构 程序 其功能就是实行相应的 活动 在活动阶段 学生只能单个地计算函数值 比较大小 在程序 过程 阶段 学生可以同时考虑多个函数值的大小关系及变化趋势 在学生多次运用 程序 后 一旦他们对整个区间上的函数值随自变量变化的趋势有了整体的认识 上述 程序 就已经被压缩为一个对象 就 压缩 过程而言 需要注意两点 一 只有当个体主动地反复运用 程序 去实施相应的 活动 时 压缩 才可能出现 二 在数学活动中 解压缩的过程也同样重要 运用压缩和解压缩的过程去实施某个 活动 是数学思维的一个特点 例如 在两个函数f和g相加得到一个新的函数f g的过程中 必须把原来的两个函数和结果函数都看作是 对象 但在实际变换或者讨论函数的性质时 又必须先将它们 解压缩 为原先的 程序 而分别操作 然后形成新的 程序 在新的 程序 中 将涉及其它更多的数学概念 如新函数的定义域与原先两个函数的定义域之间的关系 这样 围绕这一 对象 形成了一个关联的认知结构 图式 数学概念是过程与对象的对偶体 数学概念的学习则是数学概念过程的凝聚和概念对象的展开 在概念的形成中 由过程向对象转化需要三个方面的心理机制 1 过程的内化 即操作过程脱离具体情境 并上升为心理操作 不再完全依赖于于具体的操作对象或实际问题 2 过程的压缩或凝聚 即将内化了的心理操作简化 归纳 抽象 概括 3 对象的实体化或对象化 即在本质上把握对象 五 APOS理论的特征 1 真实反映了数学概念的心智建构过程APOS理论集中于对特定学习内容 数学概念学习过程的研究 对数学概念所特有的思维形式 过程和对象的双重性 做出了切实分析 对数学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究 正确揭示数学学习活动的特殊性 提出学生学习概念要经过 活动 程序 对象 和 图式 4个阶段 反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动 五 APOS理论的特征 活动阶段 是学生理解概念的一个必要条件 通过 活动 让学生亲身体验 感受概念的直观背景和概念间的关系 过程阶段 是学生对 活动 进行思考 经历思维的内化 压缩过程 学生在头脑中对活动进行描述和反思 抽象出概念所特有的性质 对象阶段 是通过前面的抽象 认识到了概念本质 对其赋予形式化的定义及符号 使其达到精致化 成为一个具体的对象 在以后的学习中以此为对象去进行新的活动 五 APOS理论的特征 图式阶段 的形