高中数学第一轮总复习 第10章第56讲直线与平面垂直课件 文 .ppt

第十章 立体几何几何初步 直线与平面垂直 第56讲 用定义或判定定理证明线面垂直 例1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 2 pd 平面abe 证明 1 在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 故pa cd 又因为ac cd pa ac a 所以cd 平面pac 而ae 平面pac 所以cd ae 2 由pa ab bc abc 60 得 abc是等边三角形 故ac pa 因为e是pc的中点 所以ae pc 由 1 知 ae cd 且pc cd c 所以ae 平面pcd 而pd 平面pcd 所以ae pd 又因为pa 底面abcd 所以pa ab 由已知得ab ad 且pa ad a 所以ab 平面pad 又pd 平面pad 所以ab pd 因为ab ae a 所以pd 平面abe 点评 本题考查直线与直线垂直 直线与平面垂直等基础知识 考查空间想象能力和推理论证能力 立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法 如 已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的 三线合一 已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来 充分进行计算 从而发现蕴含的垂直等关系 已知线面垂直时会有哪些结论 是选择线线垂直还是选择面面垂直 要证明结论或要得到哪个结论 就必须满足什么条件等 变式练习1 如图 e f分别为直角三角形abc的直角边ac和斜边ab的中点 沿ef将 aef折起到 a1ef的位置 连结a1b a1c 求证 1 ef 平面a1ec 2 aa1 平面a1bc 用线面垂直的性质定理证明线线垂直 证明 如图 acb 90 所以bc ac 又在直三棱柱abc a1b1c1中 cc1 平面abc 所以bc cc1 而ac cc1 c 所以bc 平面aa1c1c 所以bc am 连结a1c 可以证明rt acm rt aa1c 所以am a1c 而a1c bc c 所以am 平面a1bc 所以a1b am 点评 证明线线垂直常构造一个平面经过一条直线与另一条直线垂直 从而达到由线面垂直证明线线垂直的目的 通过计算证明线线垂直 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是bb1的中点 o是底面正方形abcd的中心 求证 oe 平面acd1 点评 要证线面垂直可找线线垂直 这是几何中证明线面垂直时常用的方法 在证明线线垂直时 要注意从数量关系方面找垂直 如利用勾股定理等 变式练习3 直棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是直角梯形 bad adc 90 ab 2ad 2cd 2 求证 ac 平面bb1c1c 1 有下列四个命题 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线 则这条直线与这个平面互相垂直 若两条直线互相垂直 其中一条垂直于一个平面 则另一条直线与该平面平行 若两条直线同时垂直于同一个平面 则这两条直线互相平行 若一条直线和一个平面不垂直 则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线 其中错误的命题是 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为2 m是ad1上任意一点 m到平面bcb1的距离是 2 3 如图 在正方形sg1g2g3中 e f分别是g1g2 g2g3的中点 d是ef的中点 现沿se sf及ef把这个正方形折成一个几何体 使g1 g2 g3三点重合于点g 这样 下列五个结论 sg 平面efg sd 平面efg gf 平面sef ef 平面gsd gd 平面sef 其中正确的是 5 如图 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 证明 1 连结ac 取其中点o 连结no mo 并延长mo交cd于r 因为n为pc的中点 所以no为 pac的中位线 所以no pa 而pa 平面abcd 所以no 平面abcd 所以no cd 又四边形abcd是矩形 m为ab的中点 o为ac的中点 所以mo cd 而mo no o 所以cd 平面mno 所以cd mn 2 连结nr 则 nrm pda 45 又o为mr的中点 且no mr 所以 mnr为等腰三角形且 nrm nmr 45 所以 mnr 90 所以mn nr 又mn cd 且nr cd r 所以mn 平面pcd 1 在线面垂直的定义中 一定要弄清楚 任意 与 无数 这两个术语内涵的差异 后者存在于前者中 任意 的理解最终转化为 两条相交直线 证明时此条件不可缺少 3 面面垂直的性质的理