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1 平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系 2 平面向量的坐标是如何定义的 3 平面向量的运算有何特点 平面向量的坐标表示及运算 平面向量的正交分解 在平面上 如果选取互相垂直的向量作为基底时 会为我们研究问题带来方便 我们把 x y 叫做向量a的 直角 坐标 记作a x y 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 x y 叫做向量的坐标表示 a y j i O 图1 x xi yj 平面向量的坐标表示 a xi yj 1 0 0 1 0 0 a y j i O 图1 x xi yj y x O y x j A x y a 如图 在直角坐标平面内 以原点O为起点作OA a 则点A的位置由a唯一确定 设OA xi yj 则向量OA的坐标 x y 就是点A的坐标 反过来 点A的坐标 x y 也就是向量OA的坐标 因此 在平面直角坐标系内 每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示 i 例1如图 用基底i j分别表示向量a b c d 并求出它们的坐标 j y x O i a A1 A A2 b c d 平面向量的坐标运算 思考 已知 你能得出 的坐标吗 这就是说 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 平面向量的坐标运算 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 如图 已知A x1 y1 B x2 y2 则AB OB OA x2 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 你能在图中标出坐标为的P点吗 已知a x y 和实数 那么 a x y 即 a x y 这就是说 实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标 例4已知a 2 1 b 3 4 求a b a b 3a 4b 例5已知平行四边形ABCD的三个定点A B C的坐标分别为 2 1 1 3 3 4 求顶点D的坐标 例5已知平行四边形ABCD的三个定点A B C的坐标分别为 2 1 1 3 3 4 求顶点D的坐标 练习 设a x1 y1 b x2 y2 其中b是非零向量 那么可以知道 a b的充要条件是存在一实数 使a b这个结论如果用坐标表示 可写为 x1 y1 x2 y2 即x1 x2y1 y2 平面向量共线的坐标表示 问题 共线向量如何用坐标来表示呢 消去 后得也就是说 a b b 0 的充要条件是 x1y2 x2y1 0 x1y2 x2y1 0 练习 下列向量组中 能作为表示它们所在平面内所有向量的基底 正确的有 1 e1 1 2 e2 5 7 2 e1 3 5 e2 6 10 3 e1 2 3 e2 1 2 3 4 例6 已知a 4 2 b 6 y 且a b 求y
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