第5章 第4节　数列求和.doc

第四节数列求和考纲传真(教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法(对应学生用书第85页)基础知识填充1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和裂项时常用的三种变形：；.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1BCDBan，S5a1a2a51.3数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等于()A9B99C10D100Ban，Sna1a2an()()()()1，令19，得n99，故选B4数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17_.9S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.5若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.2n12n2Sn2n12n2.(对应学生用书第85页)分组转化求和(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，)设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.规律方法分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论跟踪训练(2018南昌一模)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5，3(1d)14d，解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.裂项相消法求和(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，所以an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知，则Sn.易错警示利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.(3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若an是等差数列，则，.跟踪训练(2017石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前10项和S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和. 【导学号：97190181】解(1)由已知得解得所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1.(2)bn，所以Tn.错位相减法求和(2017山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上两式联立方程组解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.规律方法(1)错位相减法求和的适用范围如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和.(2)错位相减法求和的注意事项在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.跟踪训练(2018石家庄质检(二)已知等差数列an的前n项和为Sn，若Sm14，Sm0，Sm214(m2，且mN*). 【导学号：97190182】(1)求m的值；(2)若数列bn满足log2bn(nN*)，求数列(an6)bn的前n项和解(1)由已知得amSmSm14，且am1am2Sm2Sm14，设数列an的公差为d，则2am3d14，d2.由Sm0，得ma120，即a11m，ama1(m1)2m14，m5.(2)由(1)知a14，d2，a