江苏省无锡市2012-2013学年高三（上）期中数学试卷(含解析).doc

江苏省无锡市2012-2013学年高三（上）期中数学试卷(含解析)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填写在答题卷对应的位置上）1（5分）（2013松江区一模）集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为4考点：并集及其运算专题：计算题分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得 ，即可得答案解答：解：A=0，2，a，B=1，a2，AB=0，1，2，4，16a=4，故答案为：4点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题2（5分）（2012广州二模）某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是60考点：分层抽样方法专题：计算题分析：先求出每个个体被抽到的概率，再用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数解答：解：每个个体被抽到的概率等于=，360=60，故答案为 60点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题3（5分）函数的定义域为（，2考点：对数函数的定义域专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数的定义域为：x|，由此能求出结果解答：解：函数的定义域为：x|，解得，故答案为：（，2点评：本题考查对数函数的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答4（5分）经过点（2，1），且与直线2x3y1=0垂直的直线方程是3x+2y4=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：由题意易得直线2x3y1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可解答：解：根据题意，易得直线2x3y1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，1），则所求的直线方程为y+1=（x2），即3x+2y4=0，故答案为：3x+2y4=0点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题5（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为考点：相互独立事件的概率乘法公式专题：计算题分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解6（5分）如图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81考点：循环结构专题：阅读型分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出解答：解：经过第一次循环得到结果为s=9，i=2，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s=81，i=3，此时满足判断框的条件执行输出s，即输出81故答案为：81点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题7（5分）若y=f（x）是幂函数，且满足，则f（3）=考点：幂函数的性质专题：函数的性质及应用分析：设幂函数f（x）=x，则由 ，求得 的值，从而求得f（3）的值解答：解：设幂函数f（x）=x，则 =2，=，f（3）=，故答案为 点评：本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题8（5分）已知等差数列an满足：a1=2，a2=0若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为7考点：等比数列的性质；等差数列的性质专题：计算题分析：先根据a1=2，a2=0求得数列an的公差，进而求得数列an的通项公式，求得a4和a5，设所加之数为x，把x，a4和a5再代入2a4=a5a1即可求得x解答：解：由an为等差数列，a1=2，a2=0，d=2，an=2n4a4=4，a5=6设所加之数为x（x+6）（x2）=（4+x）2x=7故答案为：7点评：本题主要考查了等比中项和等差中项的性质，属基础题9（5分）设向量，的夹角为120，则实数k=3考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题；平面向量及应用分析：由向量夹角公式可得，cos120=0可知，k0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120=k0整理可得，k2=9k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=310（5分）关于x的不等式（x2a）（ax1）0的解为或x2a，则实数a的取值范围为a考点：一元二次不等式的应用专题：计算题；不等式的解法及应用分析：利用关于x的不等式（x2a）（ax1）0的解为或x2a，可得不等式，即可求得实数a的取值范围解答：解：关于x的不等式（x2a）（ax1）0的解为或x2a，a故答案为：a点评：本题考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题11（5分）以下5个命题：（1）设a，b，c是空间的三条直线，若ac，bc，则ab；（2）设a，b是两条直线，是平面，若a，b，则ab；（3）设a是直线，是两个平面，若a，则a；（4）设，是两个平面，c是直线，若c，c，则；（5）设，是三个平面，若，则其中正确命题的序号是（2）（4）考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：由空间直线的位置关系及几何特征可判断（1）的真假；根据线面垂直的性质定理，可得（2）的真假；根据线面垂直，面面垂直的几何特征可判断（3）的真假；根据面面平行及线面垂直的几何特征可判断（4）的真假；根据面面垂直及面面平行的几何特征可判断（5）的真假解答：解：（1）设a，b，c是空间的三条直线，若ac，bc，则a与b可能平行，也可能相交，也可能异面，故（1）错误；（2）设a，b是两条直线，是平面，若a，b，由线面垂直的性质可得ab，故（2）正确；（3）设a是直线，是两个平面，若a，则a或a，故（3）错误；（4）设，是两个平面，c是直线，若c，c，由面面平行的几何特征可得，故（4）正确；（5）设，是三个平面，若，则与可能平行与可能相交，故（5）错误故答案为：（2）（4）点评：本题的知识点是命题的真假判断，空间直线与平面的位置关系，熟练掌握并正确理解空间直线与平面位置关系的定义及几何特征是解答本题的关键12（5分）函数f（x）=（|x|1）（x+a）为奇函数，则f（x）的减区间为考点：奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用函数f（x）=（|x|1）（x+a）为奇函数，确定a的值，再将函数写出分段函数，即可求得结论解答：解：函数f（x）=（|x|1）（x+a）为奇函数，f（0）=0，即a=0，a=0f（x）=（|x|1）x=f（x）的减区间为故答案为：点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，确定函数的解析式是关键13（5分）（2011南通一模）已知，若对x11，3，x20，2，f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是考点：函数恒成立问题专题：计算题分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围解答：解：因为x11，3时，f（x1）0，9；x20，2时，g（x2）m，1m故只需0mm故答案为 m点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于基本题14（5分）定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s24s）f（4tt2），若2s2时，则3t+s的范围是8，16考点：简单线性规划的应用；奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：先确定y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称，再利用函数是增函数，将不等式f（s24s）f（4tt2），化为具体不等式，利用可行域，即可求得3t+s的范围解答：解：y=f（x2）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了2个单位又由于y=f（x2）图象关于（2，0）点对称，向左移2个单位，即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称所以f（4tt2）=f（t24t）即不等式f（s24s）f（4tt2），等价于f（s24s）f（t24t）因为函数y=f（x）是增函数，所以s24st24t移项得：s24st2+4t0，即：（st）（s+t4）0得：st且s+t4或st且s+t4可行域如图所示，则当s=2，t=2时，3t+s有最小值是62=8当s=2，t=6时，3t+s有最大值是182=16故3t+s范围是8，16故答案为：8，16点评：本题考查函数的性质，考查不等式的化简，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+c2ac，b=1（1）若，求c；（2）若a=2c，求ABC的面积考点：解三角形专题：计算题；解三角形分析：（1）利用已知条件求出cosB，解得B，通过，求出A，C，利用正弦定理求c；（2）通过已知条件以及a=2c，求出B，判断三角形的形状，然后求ABC的面积解答：解：（）由已知b2=a2+c2ac，可知cosB=，0B，解得B=；tanAtanC=tan（AC）=，AC=，且A+B+C=，A=，C=，由，即，解得c=（）因为b2=a2+c22accosB，又a=2c，B=，所以b2=4c2+c24c2，解得b=c因此得a2=b2+c2故三角形ABC是直角三角形，A=，c=其面积S=bc=点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和的正弦函数的应用三角形面积公式的应用，考查计算能力16（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PAB和PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点（1）求证：OE平面PDC；（4）求证：平面PBD平面ABCD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（）如图所示，连接AO并延长交DC于点F，连接BF、PF，可证得AO=OF，再由已知AE=EP，可利用三角形的中位线定理即可证明结论（）如图所示，根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，从图可看出，只要证PO平面ABCD即可解答：证明：（）如图所示，连接AO并延长交DC于点F，连接BF、PFABDC，BO=OD，AO=OF，又AE=EP，根据三角形的中位线定理可得OEPF，而OE平面PDC，PF平面PDC，OE平面PDC（）PAB和PAD是两个边长为2的正三角形，PB=PD=2，又BO=OD，POBDABAD，在RtABD中，由勾股定理可得，BD=2OB=在RtPOB中，由勾股定理可得，PO=，在RtABD中，AO=在PAO中，PO2+OA2=4=PA2，由勾股定理得逆定理得POAO又BDAF=O，PO平面ABCDPO平面PBD，平面ABD平面ABCD点评：本题考查了线面平行和面面垂直，充分利用线线平行、垂直得到线面平行和面面垂直的转化思想是解题的关键17（14分）已知向量（0），其中O为坐标原点（1）若=2，（0，），且，求；（7）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模专题：平面向量及应用分析：（1）根据给出的和的值，求出向量，由向量的坐标差求出向量，最后由向量垂直的坐标表示可解得的值；（2）把向量和的模代入后得到关于的不等式2+1+2sin（）4，把不等式左边看作关于的二次函数，分0和0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解的范围解答：解：（1）若=2，则，由，得：，即，所以，因为，所以，所以（2）若对任意实数，都成立，则（cos+sin）2+（sincos）24对任意实数，都成立，即2+1+2sin（）4对任意实数，都成立，所以，或，解得：3或3，所以实数的取值范围是（，33，+）点评：本题考查了向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查计算能力，数学转化思想和函数思想，是中等难度的题目18（16分）数列an是公比大于1的等比数列，a2=6，S3=26（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列设第n个等差数列的前n项和是An求关于n的多项式g（n），使得An=g（n）dn对任意nN+恒成立；（3）对于（2）中的数列d1，d2，d3，dn，这个数列中是否存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由考点：等比数列的通项公式；数列的应用专题：等差数列与等比数列分析：（1）设公比为q，由，a2=6，S3=26 求得q=3，从而求得 a1=2，由此求出等比数列的通项公式（2）由等差数列的通项公式求得 dn=，利用等差数列的前n项和公式求得可得 An=，再由 An=g（n）dn对任意nN+恒成立，求得 g（n）再由 =dmdp，求得 m=k=p，这与dm，dk，dp是不同的三项相矛盾，由此得出结论解答：解：（1）设公比为q，由，a2=6，S3=26 可得 ，解得q=3，或 q=，再由q1可得q=3，a1=2，an=23n1（2）由等差数列的通项公式可得 23n=23n1+（n+1）dn，dn=，An=n 23n1+=An=g（n）dn对任意nN+恒成立，g（n）=n2（3）对于（2）中的数列d1，d2，d3，dn，这个数列中若存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，则有 =dmdp，即 =，再由 2k=mp，解得 m=k=p，这与dm，dk，dp是不同的三项相矛盾，故不存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题19（16分）为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品（1）当工厂日处理废气量x40，70时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）利用每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品，及函数关系式，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（2）求出工厂处理每顿废气的平均收益的函数表达式，再分段求出函数的最值，即可求得结论解答：解：（1）当x40，70时，设该工厂获利为S，则S=50x（2x2130x+5000）=2（x45）2950x40，70时，Smax=9500，因此，该工厂不会获利当x=70时，Smin=2200，国家至少每天财政补贴2200元，保证工厂在生产中没有亏损现象出现；（2）由题意，工厂处理每顿废气的平均收益为P（x）=当x10，40时，P（x）=，P（x）=x10，40，10x20时，P（x）0，函数为增函数，20x40时，P（x）0，函数为减函数x=20时，P（x）取得最大值，最大值为P（20）=65当x40，70时，P（x）=，240，当且仅当x=60时，取得最小值为240x=60时，P（x）取得最大值，最大值为P（60）=75综上，x=60时，当工厂的日处理量为60吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题2