194一元二次方程根与系数的关系1

一般形式 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 ax2 bx c 0 a 0 解法 22 2 4一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 1 填表 问题 你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律 当二次项系数为1时x2 px q 0的两根为x1 x2则有 2 1 3 2 1 3 2 3 1 4 5 4 猜想 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a b c是常数且a 0 的两根为x1 x2 则x1 x2与系数a b c的关系 一元二次方程根与系数关系的证明 X1 x2 X1x2 任意的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根x1 x2与系数a b c的关系是 x1 x2 x1 x2 a b a c 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家 韦达 发现的 所以我们又称之为韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系 在使用根与系数的关系时 应注意 不是一般式的要先化成一般式 2 一元二次方程有根 即 3 在使用X1 X2 时 注意 不要漏写 1 x2 2x 1 0 2 2x2 3x 0 3 2x2 6x 0 4 3x2 4 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 0 x1x2 x1x2 0 x1x2 示例 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系 求下列方程两根 的和与积 解 化为一般形式 1 x2 3x 1 0 2 3x2 2x 2 3 2x2 3x 0 4 3x2 1 1 根据一元二次方程的根与系数的关系 求下列方程两根 的和与积 口答 自主练习灵活运用 练习2 已知关于x的方程 当m 时 此方程的两根互为相反数 当m 时 此方程的两根互为倒数 1 1 分析 1 2 典型题讲解 例2 已知3x2 2x 9 0的两根是x1 x2 求 1 2 x12 x22 解 由题意可知x1 x2 x1 x2 3 1 2 x1 x2 2 x12 x22 2x1x2 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 2 2 3 6 求与方程的根有关的代数式的值时 一般先将所求的代数式化成含两根之和 两根之积的形式 再整体代入 例3已知方程2x2 kx 4 0的一个根是 4 求它的另一个根及k的值 解 设方程的另一根为了 则 典型题讲解 1 设x1 x2是方程x2 2 k 1 x k2 0的两个实数根 且x12 x22 4 求k的值 拓广探索 解 由方程有两个实数根 得 即 8k 4 0 由根与系数的关系得x1 x2 2 k 1 x1x2 k2 X12 x22 x1 x2 2 2x1x2 4 k 1 2 2k2 2k2 8k 4 由X12 x22 4 得2k2 8k 4 4 解得k1 0 k2 4 经检验 k2 4不合题意 舍去 k 0 小结 一元二次方程根与系数的关系 1 熟练掌握根与系数的关系 2 灵活运用根与系数关系解决问题 3 探索解题思路 归纳解题思想方法 试一试 1 已知方程3x2 19x m 0的一个根是1 求它的另一个根及m的值 2 设x1 x2是方程2x2 4x 3 0的两个根 求 x1 1 x2 1 的值 练习2 已知方程x2 k 1 x 3k 0的一个根是2 求