2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.2直线的方程（第3课时）一般式讲义苏教版必修2.docx

第3课时一般式学 习 目 标核 心 素 养1.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式(重点、难点)2根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系(易错、易混点)3能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程(重点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和数学建模核心素养.1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不全为0)来表示(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不全为0)都表示一条直线2直线的一般式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线方程AxByC0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式(2)对于直线AxByC0，当B0时，其斜率为，在y轴上的截距为；当B0时，在x轴上的截距为；当AB0时，在两轴上的截距分别为，(3)直线一般式方程的结构特征方程是关于x，y的二元一次方程方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列x的系数一般不为分数和负数虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程1.思考辨析(1)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程AxByC0都表示一条直线()(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程()(3)直线方程的一般式同二元一次方程AxByC0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系()(4)方程x2y30；x30；y10均表示直线()答案(1)(2)(3)(4)2过点(1，2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为_y20过点(1，2)，斜率为0的直线方程为y2，其对应的二元一次方程为y20.3方程1，化成一般式为_2x3y60由1，得2x3y60.4经过点(2，3)，且斜率为2的直线方程的一般式为_2xy70由点斜式方程得y32(x2)，整理得y2x7，即2xy70.求直线的一般式方程【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程(1)斜率是，且经过点A(2，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为1；(3)经过A(1，5)，B(2，1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是3，1.思路探究：选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y3(x2)，化为一般式为xy320.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y4x1，化为一般式为4xy10.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为.化为一般式方程为2xy30.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为1.化成一般式方程为x3y30.求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式1求满足下列条件的直线方程，并化成一般式(1)斜率为3，经过点(5，4)；(2)斜率为2，经过点(0，2)；(3)经过两点(2，1)和(3，4)；(4)经过两点(2，0)和(0，3)解(1)直线的斜率为3，过点(5，4)，由直线的点斜式方程，得y43(x5)，所求直线方程为3xy190.(2)直线的斜率为2，在y轴上的截距为2，由直线的斜截式方程，得y2x2，所求直线方程为2xy20.(3)直线过两点(2，1)和(3，4)，由直线的两点式方程，得，所求直线方程为5xy110.(4)直线在x轴，y轴上的截距分别为2和3，由直线的截距式方程，得1，所求直线方程为3x2y60.直线方程的应用【例2】一根铁棒在20时，长10.402 5米，在40时，长10.405 0米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25时的长度思路探究：把(20，10.402 5)和(40，10.405 0)视为直线l上的两个点，利用两点式求l的方程，并估计t25时的值解这条直线经过两点(20，10.402 5)和(40，10.405 0)，根据直线的两点式方程，得，即l0.002 510.400 0，当t25时，l0.002 510.400 00.003 12510.400 010.403 125.即当t25时，铁棒长为10.403 125米在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法一般地，已知一点，设k为待定系数，但要注意分k存在与不存在两种情况进行讨论若已知斜率k，则设在y轴上的截距b为待定系数有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法2某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_元10设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100时，100k120100k2，k2k1，t150时，150k2150k1201502010.含参数方程与直线的位置关系探究问题1直线5ax5ya30是否一定过第一象限？为什么？提示5ax5ya30变形为a(5x1)35y0.当5x10时，35y0即直线过定点，所以不论a为何值，直线一定过第一象限2要使直线5ax5ya30不经过第二象限，那么a的取值范围是什么？提示易知直线5ax5ya30过定点A，直线OA的斜率为k3.而直线l的方程整理得ya.l不经过第二象限，ka3.【例3】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由思路探究：(1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解(2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，a2时满足条件，此时l的方程为3xy0；当a1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；当a1，且a2时，由a2，即a11，即a0.此时直线在x轴，y轴上的截距都为2，l的方程为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20时，l在两坐标轴上的截距相等(2)假设存在实数a，使直线l不经过第二象限将l的方程化为y(a1)xa2，则有解得a1.1本题(1)在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题(2)在求解过程中，常因漏掉“(a1)0”的情形而漏解2解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解解题时应结合具体问题选好切入点，以防增(漏)解3已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围解(1)证明：直线l的方程是k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2，1)(2)由方程知，当k0时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.故k的取值范围为k|k01本节课的重点是了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般式，能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化，难点是能根据所给条件求直线方程并能在几种形式间相互转化2本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线一般式方程的策略(2)弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程(3)含参数方程与直线的位置关系，即直线过定点、过某象限等1过点(0，1)，倾斜角为60的直线的一般式方程为()Ayx1Byx1C.xy10 D.xy10Cktan 60，由斜截式方程得yx1，化为一般式：xy10.2已知直线的一般式方程为2xy40，且点(0，a)在直线上，则a_4把点(0，a)的坐标代入方程2xy40，得a40，所以a4.3已知ab0，bc0，则直线axbyc通过第_象限一、三、四由axbyc，得yx，ab0，直线在y轴上的截距0.由此可知直线通过第一、三、四象限4已知一个等腰三角形，两腰长