第四章--恒定磁场

第四章恒定磁场 4 1磁力和磁感应强度 1 磁现象的电本质 现象 磁铁 磁性 南极 北极 本质 分子电流假说 任何物质的分子都存在着圆形电流 称为分子电流 每个分子电流都相当于一个基本磁元体 2 磁场 运动的电荷在其周围空间激励出了磁场这种特殊的物质 磁作用力都是通过磁场来传递的 3 磁单极子 理论上预言存在 但是没有在实验中发现 即使存在也是极少的 不会影响现有的一般工程应用 图4 5亥姆霍兹线圈 4 磁感应强度 模值 表示某点上的磁场强弱 方向 该点的磁场方向 用运动电荷在磁场中受力来定义 亥姆霍兹线圈实验的结论 综合上述三点 运动电荷在磁场中所受的磁力表示为 将定义为磁感应强度 则 或 讨论 的模值与方向 模值 单位运动电荷在该点所受到的最大磁力 方向 和是相互垂直的 洛仑兹力 洛仑兹力对电荷的运动不做功 它只改变电荷的运动方向 而不改变其运动速度的大小 洛仑兹力方程 的单位 在SI单位制中 为特斯拉 T 1特斯拉 1 牛顿 秒 库仑 米 高斯单位制中 为高斯 Gs 1T 104Gs 5 磁感应线 磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度的方向 通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数正比于该点值的大小 4 2带电粒子在磁场中的运动 一 垂直磁场的圆周运动 洛仑兹力 若则 利用牛顿第二定律和匀速圆周运动的加速度公式 有 所以 回转半径 回转周期 称为荷质比 二 沿磁场方向的螺旋运动 当带电粒子进入均匀磁场的初速度与磁场不垂直时 粒子沿螺线运动 螺旋线的半径 螺旋线的螺距 应用 三 回旋加速器 图4 14回旋加速器 回旋加速器的优点在于以不很高的振荡电压对离子不断加速而使其获极高的动能 设D形盒的半径为R0 则离子所能达到的最大速率和动能是 若换成一次加速形式的直线加速器来实现同样的动能 则 一千八百万伏 四 霍耳效应 若载流子是正电荷 则 当电场力和洛仑兹力达到平衡时 若载流子是负电荷 则 将一块导电材料板放在垂直于它的磁场中 当板内有电流I通过时 在导电板的两个侧面A C间会产生一个电位差UAC 这种现象称为霍耳效应 应用 确定半导体载流子形式 磁场测量 高斯计 4 3安培磁力定律和毕奥 沙伐定律 一 安培磁力定律 1 表达式 表示l1l2上的电流元 表示到的相对位置矢量 是表征真空磁性质的常数 称为真空磁导率 2 安培磁力定律符合牛顿第三定律 二 毕奥 沙伐定律 将安培磁力定律改写为 写成微分形式 而电流回路所受磁力可以归结为回路中运动电荷受力的结果 与运动电荷的洛仑兹力公式相比 可将dl2处的磁感应强度记作 1 电流回路的 2 电流元的 回路的表达式中的被积函数应为电流元在场点处产生的磁感应强度矢量元 3 分布电流的 电流体分布 电流面分布 三 电流回路在磁场中受力 1 回路受力 2 回路上电流元受力 四 真空中的磁场强度 定义 单位 安培 米 A m 可以定义为磁场中一点上单位电流元所受到的最大磁力 例4 2求通过电流I的一段直导线在空间任意点产生的磁感应强度 解 建立坐标系 以导线为z轴 导线中点为原点 由对称性知 场值与无关 可在的平面内求解 求电流元表达式 所以 求被积函数中的矢量项 所以 应用毕奥 沙伐定律 对于无限长的直线电流情况 其中 时 所以 可见 直线电流段产生的磁场与电流成右手螺旋关系 例4 3一圆形载流回路的半径为a 电流强度为I 求回路轴线上的磁感应强度 解 建立坐标系 令回路轴线与z轴重合 取圆心为坐标系原点 对于z轴上的任意场点 与相互垂直 由毕奥 沙伐定律求解 故 将dB沿z轴分解 可得 分析对称性可知整个电流回路的磁场只有平行方向分量 即 五 电流回路在磁场中受到的转矩 例4 4分析半径为的圆形细导线载流回路在均匀外磁场中所受的磁场力 以回路中心为坐标系原点 回路法线方向与z轴正方向一致 建立直角坐标系 由安培磁力定律 可得 这表明均匀磁场中的闭合电流回路所受的总磁力为零 但此力为零只说明回路不受使其产生位移的力 由于回路各部分所受磁力的方向不同 它将受到转矩作用而发生旋转 解 1 求总磁场力 2 求磁场力的转矩 考虑磁感应强度的两个分量 使回路受到向圆环外的张力 使回路绕y轴作反时针旋转 求Bx的转矩 电流元和共同产生的转矩为 回路所受的总转矩为 用磁矩表示转矩 定义电流回路的磁矩 则 4 4恒定磁场的基本定律 一 安培回路定律 1 积分形式 1 磁场强度的闭合围线积分 单个回路 假定空间磁场由电流回路产生 根据毕奥 沙伐定律 得 任取一个闭合回路 则在此回路上的积分为 立体角的增量 所包围的面积对P点构成一个立体角 回路不动 P移动 P不动 回路移动 环带对P所张立体角 环带上 对P的立体角 用d 表示的闭合围线积分 表示P点沿l运动一周所引起的立体角的总改变量 讨论 a 积分回路与电流回路相交链 积分回路选择A B 对应曲面两侧 按右手关系选择回路所围曲面的法向 A与法线同侧 A 2 B与法线异侧 B 2 所以 当回路的积分方向与穿过其截面的电流I符合右手定则时 取正值 反之 取负值 b 积分回路与电流回路不交链 此时P点沿l位移则立体角一直连续改变 当P点位移一周回到原来位置时 立体角也回复到原值 所以 应当明确 所谓电流I与回路l交链 是指该电流必须穿过以l为边界的任意曲面 2 多个电流回路存在时 的围线积分 3 电流体分布时 的围线积分 对于一个电流N次与l交链的情况 安培回路定律的积分形式 2 微分形式 利用斯托克斯定理 得安培回路定律的微分形式 物理意义 反映了磁场空间一点上的磁场强度矢量与该点电流密度的关系 表明了电流是磁场的 漩涡源 磁场是一个有旋场和非保守场 例4 5半径为a的无限长导体圆柱上流有恒定电流I 求空间任意点的磁场强度 解 建立坐标系 令圆柱体的轴线与圆柱坐标系z轴重合 建立圆柱坐标系 求出电流分布 利用安培环路定律求解 或 或 从结果可以看出 在r a的位置感受到的磁场强度与所有的电流集中在轴线上的无限长线电流所产生的磁场强度是相同的 例4 6如图的环状螺线管叫做螺绕环 设环管的轴线半径为R 环上均匀密绕N匝线圈 线圈内通有恒定电流I 求 螺绕环内外的磁场 解 建立圆柱坐标系求解 利用安培环路定律求 在环管内 所以 在环管外 与积分回路交链的总电流为零 所以 当环管截面半径远小于环半径R时 可近似取r R 此时 其中为螺绕环单位长度的线圈匝数 长直螺线管可以看成是的螺绕环 例4 7计算面密度为JS的无限大均匀电流平面的磁场 解 建立坐标系无限大平面电流可看成由无限多根平行排列的长直线电流组成 利用安培环路定律求 分析对称性可知磁场的特点 a 磁场平行于电流面 b 磁场大小与场点与平面的距离无关 c 平面两侧的磁场方向相反 取安培回路abcd 则有 因此 二 磁场 高斯定律 磁通连续方程 1 微分形式 电流元的磁感应强度 上式两边对场点P的坐标求散度 利用恒等式 得 区域内所有电流的磁场感应强度 两边取散度 得 即 表明恒定磁场是一个无散场 2 积分形式 应用散度定理得 恒定磁场第二定律 3 磁通量 单位 韦伯 Wb 也称为磁通密度 单位 韦伯 米2 Wb m2 定义 磁感应强度在某曲面上的面积分 4 5矢量磁位和标量磁位 一 矢量磁位 1 引入 磁场的高斯定律表明磁场是无散源场 可引入矢量位 定义式 称为矢量磁位或磁矢位 单位 韦伯 米 2 库仑规范 只根据定义式 无法确定 证明 如果是满足定义式的一个解 则令 于是 而 故 所以对一个给定的将有无穷多个与之对应 为了避免的这种随意性 必须再对其附加另外的限制 这个限制就是给定的散度 3 矢量磁位的微分方程 利用矢量恒等式和库仑规范 利用矢量磁位的定义式和安培环路定理 得 矢量的拉普拉斯运算由确定 三个分量分别满足标量泊松方程 在直角坐标系中 具有如下形式 对无界空间情况 且场源电流分布在有限区域内 方程的解为 将以上三式矢量相加 就得到矢量泊松方程在无界空间内的解 电流元所产生的磁矢位为 电流面分布 电流线分布 利用磁矢位解决磁场问题 一般是求出分布电流所产生的 然后再通过计算出对应的 这些表达式只适用于电流分布在有限区域的情况 例4 8计算无限长直线电流产生的磁矢量位和磁通量密度 解 首先计算一段长度l为的直线电流段产生的磁矢位 利用线电流分布时 解的表达式得 当时 可见 由上式得到无限长直线电流产生的趋于无穷大 错误原因 零参考点选择在非无限远的某点上 解决办法 对于源电流分布于无限区域的情况 如果再以无限远为磁矢位参考点 就会导致场点值的发散 选取为参考点 并构造一个新的磁矢位 令 和是按照电流分布在有限区域时的计算公式得到的磁矢位 作代换 则 磁通量密度可以求得 这与安培回路定律或毕奥 沙伐定律所求出的结果完全相同 例4 9双导线传输线可以视为通过反方向电流的无限长平行直线电流 设线间距离为2a 如图所示 求它所产生的和 解 利用例4 8的结果可得 二 标量磁位 1 引入 对于的区域 即无电流的区域 可以引入标量位 称为标量磁位或磁标位 单位是安培 A 对上式取散度 并由磁场高斯定律可得到 这表明磁标位满足拉普拉斯方程 比求解矢量磁位的矢量微分方程要容易 2 的微分方程 定义式 根据的定义式 得 3 求解标量磁位 求解微分方程 利用等效磁荷的位叠加原理 4 7 利用磁场强度求解 P0是磁标位的参考点 场源电流分布在有限区域内时 常将P0选在无穷远处 此时 根据的定义式 必须注意 只能用在无电流的区域内 并且的积分路径一般也不与电流回路交链 否则会使出现多值性 可得 4 闭合回路的 其中的 是点P对回路所张的立体角 利用安培回路定律的推导过程 可得 所以 如图 求回路在P处的 一般解 远区解 当P点与回路的距离比回路的尺寸大得多时 可以看作是远区场的情况 此时立体角可以近似写成 利用一般解的表达式 可得 例4 10一半径为a的圆形细导线回路上流有恒定电流I 求回路中心上方任意点P处的和 解 以场点为球心 R为半径做一球面 则圆形回路在球面上截出的球冠面积为 S对P点所张的立体角为 所以轴线上磁标位为 由对称关系可以看出在轴线上磁通量密度只与z有关 所以 4 6磁偶极子 1 定义 若一个平面电流回路的尺寸远远小于场点到该回路的距离 此电流回路可以视为一个矢量点源 称为磁偶极子 2 磁偶极子的 计算式 磁偶极子的 整理得 由定义 3 磁偶极子产生的磁矢位 根据定义式 和磁偶极子的表达式 可以凑出磁矢位表达式 只是源点坐标的函数 故 因此有 利用矢量恒等式 考察 所以 对远区场有 因此 只是源点坐标的函数 所以 由此得到 对比 得到磁偶极的矢量磁位 只是源点坐标的函数 所以 由矢量恒等式知同时满足库仑规范 4 位于原点的磁偶极子 对位于坐标原点的磁矩 远场区场位表达式为 对比电偶极的远区场位表达式 可见 两者是非常相似的 4 7磁介质的磁化 1 外磁场使电子的公转状态发生改变 一 磁化的分类 电子作轨道圆周运动时 具有角动量 电子作绕核的圆周运动 形成磁矩 与电流成右手关系 而与电子运动成右手关系 所以与反向平行 当处于中时 受到转矩 所以 在作用下 将绕着做逆时针运动 这种运动相当于电子产生的电流环 其作用是减弱外磁场 称为抗磁效应 来源 量级 存在范围 抗磁效应存在于所有介质之中 如果某种磁介质只存在抗磁效应 而没有其它磁化效应 则称其为抗磁性磁介质 如金 银 铜 石墨 氧化铝等 2 磁场使分子固有磁矩转向 来源 分子的固有磁矩 量级 要强于它的抗磁效应 施加外磁场后 大量分子磁矩的规则转向使介质内的磁场增强 称为顺磁效应 存在范围 分子的固有磁矩不为零的介质 具有顺磁效应的物质称为顺磁性磁介质 如氧 氮 铝 等 3 外磁场使磁畴发生变化 来源 量级 存在范围 介质内部存在磁畴 自发磁化 外磁场较弱时 磁矩方向与外磁场相同或相近的磁畴会将其磁畴壁向外推移 扩大自己的体积 外磁场达到一定强度后 每个磁畴的磁矩方向都要不同程度地向外磁场方向转向 超过外加磁场几个数量级 铁磁性磁介质 这时介质表现出非常强的顺磁效应 此时的顺磁效应称为铁磁效应 这类物质称为铁磁性磁介质 磁化的最终结果都是在磁介质空间产生了大量的分子磁矩平均值不再为零的小磁偶极子 二 磁化强度矢量 1 定义式 物理意义 磁化磁介质某点上单位体积内分子磁矩矢量和 单位 安培 米 A m 2 用表示磁介质的 则整个磁介质区域产生的磁矢位 微元产生的磁矢位 利用矢量恒等式 得 再利用矢量公式 得 磁化电流 体磁化电流密度 面磁化电流密度 引入 则 2 用表示磁介质的 微元产生的磁标位 则整个磁介质区域产生的磁标位 等效磁荷 等效磁荷体密度 等效磁荷面密度 引入 则 4 8磁介质中恒定磁场的基本定律 1 安培回路定律 微分形式 真空中 讨论介质中问题时 还应包括磁化电流的作用 所以 假定电流都是体分布 则 应用斯托克斯定理 得 上式对任意S都成立 必有 则得到磁介质中的安培回路定律的微分形式 定义为磁介质中的磁场强度 将磁化电流密度公式带入 得 积分形式 对微分形式两边同时积分得 应用斯托克斯公式 得安培回路定律的积分形式 2 磁导率 对一般抗磁性介质和顺磁性介质 与成正比关系 是一个无量纲的数 称为磁化率 磁化率 磁导率 称为磁介质的磁导率 单位是亨利 米 H m 称为相对磁导率 是无量纲数 本构方程 3 磁场高斯定律 磁介质中的实际磁场可以分解成自由电流真空场和磁化电流真空场两部分 因为真空磁场必为无散源场 故它们的叠加也一定是无散源场 所以 4 位函数 定义式 微分方程 在均匀磁介质中 在无限均匀磁介质中 方程的解为 例4 11磁导率为的铁质无限长圆管中通过均匀恒定电流I 管的内外半径分别为a和b 截面如图所示 求空间任意点的和磁化电流 解 1 求 以圆管截面的圆心为原点 电流方向为 建立圆柱坐标系 求电流分布 利用安培环路定律求 2 求 根据 可得 3 求 管壁内的磁化电流体密度和总磁化电流为 管壁内侧面上的磁化电流面密度和总磁化面电流为 管壁外侧面上的磁化电流面密度和总磁化面电流为 4 9铁磁介质 铁磁介质B H关系测量实验 初始条件 铁磁介质环从未加过磁场或经过 去磁 处理 关于铁磁介质的几个概念 磁饱和状态 磁滞效应 剩磁 矫顽力 饱和 磁滞回线 软 硬 磁材料 居里温度 4 10磁介质分界面上的边界条件 规定界面的法线单位矢量是由2区指向1区 由磁场高斯定律得 当时 侧面通量 标量形式 1 磁感应强度的边界条件 所以得的边界条件 表明 磁通量密度的法向分量在分界面上是连续的 2 磁场强度的边界条件 规定界面的法线单位矢量是由2区指向1区 当时 回路的面积趋于零 穿过此面积的体电流为零 回路仅包围界面上的面电流 利用安培回路定律 得 由矢量混合积恒等式 得 表明 当分界面上有表面自由电流时 磁场强度切向分量在界面上是不连续的 上式对任意的都成立 必定有 在实际问题中 一般都有 此时 边界条件为 或 3 的方向与 的关系 折射关系 当分界面上无自由电流时 边界条件可以表示为 以上两式相除 并考虑到 可得 如果1区为空气或一般抗磁 顺磁性磁介质 2区是高 的铁磁物质 由于 r1 r2 此时只要1区的磁场矢量不与界面垂直 即 1 0