扩展的纽结量子引力态.doc

物理学报第 51 卷 第 7 期 2002 年 7 月100023290200251 (07) 1467208Vol . 51 ,No . 7 ,J uly ,2002 2002 Chin. Phys. Soc .ACTA PHYSICA SINICA扩展的纽结量子引力态邵常贵1)肖俊华1)亮2)丹2)陈贻汉1)潘贵军1)邵邵1) ( 湖北大学理论物理研究所 ,武汉 430062)( Department of Physics , Ibaraki University , Mito 310 , J apan) (2000 年 6 月 19 日收到 ;2001 年 8 月 13 日收到修改稿)2)给出了微分同胚群的表示 . 以扩展的 Gauss 不变量 G 和 Jones 多项式第二个系数 J 2 为基本片段 ,构造了满足22齐次微分同胚约束 ( D2约束) 的扩展 knot 不变量引力态 G 3 J 2 , ( 3 J 2 ) 和 ( 3 G) 3 J 2 . 得到了它们的具体表式 ,并通过具体计算 ,给出了它们满足齐次 D2约束的证明 .关键词 : 微分同胚约束 , 扩展 knot 不变量 , 量子引力态PACC : 0460无限维多重切场 X () 的集合 ,在圈表象中 ,是同圈本身一一对应的 :11 引言X () : = X , X () , X () ,11 2基于 Ashtekar 新变量 1 ,2 的正 则 非 微 扰 量 子 引力理论的研究中 ,寻找量子引力态是目前关键的问 题之一. 这种引力态要求满足所有的约束方程. 特别地 ,首先要求在微分同胚群作用下的 D2约束作用其上为零 . 而在量子引力的圈表象中 , D2约束是通过 考虑态空间中微分同胚 ( diff) 群的一个线性表示来定义 的 3 . 在 圈 表 象 中 , 态 函 数 是 圈 的 泛 函 . 而knot (纽结) 不变量亦正好是 diff 不变量的圈泛函 .于是 ,可将 knot 不变量作为量子引力态的理想候选 者 4 ,5 . 本文先讨论圈表象中的 diff 群的表示 ,接着 引入在其下不变的 knot 不变量. 由于 knot 不变量作为非微扰量子引力态具有局限性 ,我们着重探讨扩展的 knot 不变量 . 本文利 用 星 乘 积“ 3 ” 6 , 以 扩 展X1n () , ,式中 i = ( ai , xi ) ,矢量分量指标 ai = 1 ,2 ,3 . 空间位置坐标 xi .考虑其基点 o 被固定的,当 经受微分 同胚 xa x a = Da ( x) 时 ,有圈 = D () . 此时 可求得圈上的多重切场的变换式为aan9 x1 19 xn 1 1 a xa xn n ( D) =X 1 i9 xb9 xbJ ( x )J ( xn )1n11nXb xb xn n () ,(1)1 1式中 J ( x) 为 J acobian 变换式 . 引入矩阵 D ,其分量 D1 nn , mD1Dn, 1 m1n19 Da ( x )ay- 1( x - D ( y) )且Dbx=bJ ( x) 7 ,8 9 x的 Gauss 不变量 G 和 Jones 多项式第二个系数J 2 为基本片段 ,构造了三个扩展 knot 不变量引力态a ()= 9 Dx ( D ( x) - y) .(2)b9 x22G 3 J 2 , ( 3 J 2 ) 和 ( 3 G ) 3 J 2 . 求得它们的具体表式并用具体计算证明了它们满足微分同胚群下的 齐次 D2约束.将 (2) 式代入 (1) 式 ,得1 nX ( D) =6 X () .(3)1 n1 mD1 m = 1m 8 利用 Einstein 广义的求和约定, (3) 式又可写为X ( D) = D X () .21 微分同胚群的表示(4)由 (4) 式知 , 定义在两个微分同胚圈上 的 多 重 切 场X ( D) 和 X () 是由与圈无关的线性变换 D 联系起来的 ,而且由多重切场的多重矢量性质可以知道 ,D 是微分同胚群的一个无穷维线性表示 .2111 线性表示将 Ashtekar 引力的时空流形 M 做“3 + 1”分解 ,三维空间流形记为 . 令 为圈 ,则 上一个协变矢量 g = ( g, g ,) 表示出来 ,即2121 非平庸线性表示11 ng (Y1 + Y2 ) = g ( Y1 ) + g ( Y2 ) .若 g 进一步具有性质 g = g T ,则该性质在 diff变换下不变 ,当 g 是协变不变量多重切场 X 包含了所有与圈有关的信息 ,可考虑作为圈 坐 标 , 但 它 不 是 独 立 的 量. 用 来 构 造 knot态 ,它应满足下述代数约束和微分约束 :- 1(11)g = g L= gDp ( , , ) 6 X k 1 nk X X 1k k +1 n=X 1n ,k +1时 ,物理量() = g ( Y1 () Yn () ) ,(12)在 diff 变换下为pk(5),k 在所式中 Pk 为对连续 k 个 ( 广义) 指标 1 ,( )= g ( Y 1 ( ) Y n ( ) ) .有指标中做双重保持指标次序的所有置换 ,将 (10) 和 (11) 式代入 ( 12) 式 ,可得 ( ) = () .这表明 () 是 diff 不变量 ,换言之 ,() 是一个knot 不变量. 我们所知道的最简单的 knot 不变量是9 9 X 1a X 1 i ni ni9 xi i( xixi - 1 )- ( xixi + 1 )=-Gauss 不变量 G () = g G ( Y1 () Y2 () ) = g 1i - 1i +1nX,(6)1 2Y 1 () Y 2 () ,若用 上的多重切场表示 ,则为式中点 xi - 1 , xi 与 xi + 1 ,当 i = 1 或 i = n 时 ,点xo 和 xn + 1 均为圈的基点 o .我们将满足微分约束所有矢量 W 构成的线性 空间记为 w ,将满足齐次微分约束所有矢量 V 构成 的线性空间记为 v ,它们之间有如下关系 :12 () .G ()(13)=g X1 23121 扩展的 knot 态将多重切场 X () 一 般 化 为 一 般 的 场 X , 那么 ,相应的 knot 不变量就变为扩展的 knot 不变量 .利用多重切场 , (13) 式应为(7)(8)V = T W ,W = V ,ax ax式中 T 为横向投影算子 (T = by - b , y , 为描述场发散性的函数) ,为非对角矩阵 9 . 由前述内容 可知 , w 中的元素满足下列变换 : G= g X 1 2 .1 2常见的作为量子引力态的扩展的 knot 不变量还有Jones 多项式的第二 、三个系数 :(9)W = D W .将 (7) 和 (8) 式代入 (9) 式 ,得V = T W = TD W = TDV式中 L D = T. J 2= g g X 1+h X 1 3 ,41 3 2 41 2 3= ( h g h -h g h )J 3= L DV ,1 2 3 41 4 2 3X1+ g4X1 5h(13245 ) c由于 w 空间和 v 空间存在一个同构关系 ,所以L D 也是微分同胚群的一个表示 , 不过这个表示是由 的性质决定的 ,对于 knot 不变量引力态而言 , 是个非平庸无穷维表示 . 令 y 是 v 的一个子空间 ,其 中所有的元素 Y 均满足齐次代数约束 ,则 Y 亦有下 列变换性质 :+ (2 g g g 1 4 2 5 3 61 g ( c ) X ,+g g )1 6 21 32 5 4 6分别为 Chern2Simons 理论中的两点式中 gh 1 2 1 2 3传播子和三点传播子 .( Y 1 Y n ) = L D ( Y1 Yn ) , (10)41 构造的扩展 knot 态的具体表式Y 为正规化的横向场 , y 为微分同胚群的非平庸无穷线性表示空间.以 G , J 2 为基本片段 , 引入星乘积“ 3 ”, 构造231 扩展的 knot 态出了混合 的 扩 展 的 knot 不 变 量 G 3 J 2 , ( 3 J 2 ),2( 3 G) 3 J 2 作为量子引力态候选者 , 下面给出具体结果.对于 G 3 J 2 ,其构成如下 :3111knot 不变量14697 期邵常贵等 :扩展的纽结量子引力态14717 期邵常贵等 :扩展的纽结量子引力态14737 期邵常贵等 :扩展的纽结量子引力态第二项 g ax gbx + ( g g g g +152 3 5 6 2 6 3 5( bx )Fab 1 I2 X=F -E ,(28)27 c)+ ( g g +g g g ax gbx g g 2 5 3 6 142 5 4 62 4 5 6式中F = -+) g+ ( gg+ggggg ax bx 2 ( g g 2 6 4 5 133 6 4 53 5 4 6+g g 1 4 2 31 3 2 4( bx16 ) cg g ) g ax gbx X,g g ) g ax gbx + ( g 3 4 5 6 13g 1 2 2 4 561 32 5第三项g g g g ) g ax gbx + ( bx )(29)1 5 2 3 1 2 3 5 46Fab 1 2 G2 X= - F ,3 8 c+ ( g g g g g g )+第四项1 3 2 6 1 6 2 3 1 2 3 6 ( bx ) g ax gbx + ( g g g g +Fab 1 2 I2 X= 0 ,(30)3 7 c451 5 2 4 1 4 2 5从而有 (27) + (28) + (29) + (30) 式 ,得g ) g ax gbx + ( g g +g 1 2 4 5 361 4 2 62Cax ( 3 G) 3 J 2 = 0 .对于态 G 3 J 2 ,证明是类似的 ,且计算较简单 ,在此从略 .本文求得在微分同胚变换下满足齐次 D2约束+g g ) g ax gbx g g 1 6 2 41 2 4 6 35+ ( g g g g g )+g 1 6 2 5 1 5 2 6 1 2 5 6+ ( g g g g g ax gbx +341 4 3 5 1 3 4 52+g g ) g ax gbx + ( g g 的扩展 的 纽 结 不 变 量 引 力 态 G 3 J 2 , ( 3 J 2 ) 和1 5 3 4 261 6 3 42( 3 G) 3 J 的具体表式 , 并给出了齐次性的具体g ) g ax gbx g g g +21 4 3 6 1 3 4 6 25证明结果. 引力态在哈密顿约束下不变性的具体表式虽与 D2约束的不同 ,但态的不变性表式的中间片 段与本文 D2约束下的片段的表式有许多是相同或+ ( g g g g g g )+1 5 3 6 1 6 3 5 1 3 5 6 g ax gbx + ( g g g g +241 5 4 6 1 4 5 6g ) g ax gbx + ( g g +g 8 相近的. 如上不变性具体证明的表式 ,将被应用在态的重组以及约束下非齐次性消除方法的研究中 .1 6 4 5 232 5 3 4+g g ) g ax gbx g g 2 4 3 52 3 4 5 16+ ( g g g g )g g +2 4 3 62 3 4 62 6 3 41 2 3 4 5 Ashtekar A 1986 Phys .Ashtekar A 1987 Phys .Rev . Lett . 57 2244Rev . D 36 15876 7 8 Griego J 1996 Nucl . Phys . B 473 291Brgmann B , Gambini R and Pullin J 1993 Gen. Rel . Grav. 25 1Shao C G et al 2000 Acta Phys . Sin . 49 619 (in Chinese) 邵常贵 等 2000 物理学报 49 619 Bartolo C D , Gambini R and Griego J 1995 Phys . Rev . D 51 502Rovelli C and Smolin L 1990 Nucl . Phys . B 331 80Rovelli C and Smolin L 1988 Phys . Rev . Lett . 61 1155Brgmann B , Gambini R and Pullin J 1992 Phys . Rev . Lett . 68 4319 The e xt e nde d knot st at e s under t he rep re s e nt atio nof t he diff eo mo rp hi s m gro upShao Chang2Gui1) Xiao J un2Hua1)Shao Liang2)Shao Dan2) Chen Yi2Han1)Pan Gui2J un1)1) ( Institute of Theoretical Physics , Hubei University , Wuhan 430062 , China)2) ( Department of Physics , Ibaraki