（试题 试卷 真题）专题12 探索性问题（解析版）

专题12 探索性问题1. 【2014年大兴区一模】若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”.已知一列数共有18个，且具有“波动性质”，则这18个数的和为（ ）A-64 B0 C18 D64 1. 【2014年昌平区一模】 已知：四边形ABCD的面积为1. 如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；如图3，取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 .2. 【2014年房山区一模】如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），点Pn（xn，yn）都在函数（x0）的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，An1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），已知点A1的坐标为（2，0），则点P1的坐标为；点P2的坐标为；点Pn的坐标为（用含n的式子表示）设点P3的坐标为（c+，c），将点P3（c+，c）代入，可得c=.3. 【2014年丰台区一模】如图，直线l:，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，按此做法进行下去，点A4的坐标为(_，_)；4. 【2014年朝阳区一模】如图，在反比例函数（x 0）的图象上有点A1，A2，A3，An-1，An ，这些点的横坐标分别是1，2，3，n -1，n时，点A2的坐标是_；过点A1 作x轴的垂线，垂足为B1，再过点A2作A2 P1A1 B1于点P1，以点P1、A1、A2为顶点的P1A1A2的面积记为S1，按照以上方法继续作图，可以得到P2 A2A3，P n-1 An-1 An，其面积分别记为S2，Sn-1，则S1+ S2+ Sn=_来源:Zxxk.Com，.考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2.跨学科问题；3.点的坐标.来源:学|科|网Z|X|X|K6. 【2014年海淀区一模】在一次数学游戏中，老师在三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为（，）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. 次操作后的糖果数记为（，）（1）若（4，7，10），则第_次操作后游戏结束；（2）小明发现：若（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么_7. 【2014年怀柔区一模】已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有_个；第2014个图形中直角三角形的个数有_个8. 【2014年门头沟区一模】如图，已知直线l：，过点A1(1,0)作x轴的垂线交直线l于点B1，在线段A1B1右侧作等边三角形A1B1C1，过点C1作x轴的垂线交x轴于A2，交直线l于点B2，在线段A2B2右侧作等边三角形A2B2C2，按此作法继续下去则B2的坐标为_；Bn的坐标为_.(n为正整数)9. 【2014年密云县一模】如图，已知AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2按此规律下去，记A2B1B2=1，A3B2B3=2，An+1BnBn+1=n，则（1）1= , （2）n= .【结束】10. 【2014年平谷区一模】如图，P1、P2、P3Pn（n为正整数）分别是反比例函数在第一象限图象上的点，A1、A2、A3An分别为x轴上的点，且P1OA1、P2A1A2、P3A2A3PnAn-1An均为等边三角形若点A1的坐标为（2，0），则点A2的坐标为_，点An的坐标为_试题分析：如图，作P1Bx轴于B，P2Cx轴于C，P3Dx轴于D， 11. 【2014年石景山区一模】在平面直角坐标系中，已知直线l：，作A1（1，0）关于的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；请继续操作并探究：点A3的坐标是 ，点B2014的坐标是 考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2. 点的坐标；3.坐标与图形对称和平移变化12. 【2014年顺义区一模】如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，顶点依次用表示，其中x轴与边，边与，与，均相距一个单位，则顶点的坐标为 ；的坐标为 ；（n为正整数）的坐标为 13. 【2014年通州区一模】如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4Pn (n为正整数，且n1)，它们的横坐标依次为1，2，3，4(n为正整数，且n1)分别过这些点作轴与轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3Sn-1 (n为正整数，且n2)，那么 ， .（用含有n的代数式表示）14. 【2014年西城区一模】如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(2,0)，正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为： ；在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是 ；保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是 .考点：1.探索规律题（图形的变化类循环问题）；2. 正多边形和圆；3.坐标与图形性质；4.旋转的性质15. 【2014年延庆县一模】如图，正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中，点E在CB的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且BE=CD，DB延长线交AE于点F 图1中AFB的度数为 ，图2中AFB度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则AFB度数为 （用含n的代数式表示）16. 【2014年燕山区一模】如图，在平面直角坐标系中，已知点P0坐标为（1，0），将线段OP0绕点O顺时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；将线段OP1绕点O顺时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，这样依次得到线段OP3，OP4，OPn则点P2的坐标为 ；当n=4m+1（m为自然数）时，点Pn的坐标为 1. 【2014年大兴区一模】在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象与x轴的正半轴交于A 、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C .点A和点B间的距离为2， 若将二次函数的图象沿y轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x轴两交点间的距离为4. （1）求二次函数的表达式； （2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；（3）设二次函数的图象的顶点为D，在x轴上是否存在这样的点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 【2014年大兴区一模】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”.（1）已知：如图1，在ABC中，C=90，.求证：ABC是“匀称三角形”；（2）在平面直角坐标系xoy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧. 在G内使PAC与PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由.设PM、PN分别为CA、DB上的中线，3. 【2014年房山区一模】如图，点A在反比例函数的图象上.（1) 求反比例函数的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，使得AOP是直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明4. 【2014年丰台区一模】已知二次函数与x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点；二次函数的顶点为P.（1）请直接写出：b=_，c=_；（2）当APB=90，求实数k的值;（3）若直线与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由.试题解析：（1）8， .5. 【2014年丰台区一模】在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC，（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AFBE交BC于点F，连结EF、CD交于点H.求证，EFCD；（2）如图2，AD=AE，AFBE于点G交BC于点F，过F作FPCD交BE的延长线于点P，试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.AE=EC ，EC=CM.6. 【2014年丰台区一模】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2,0）和点B，与y轴交于点C（0,），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒.（1）求该抛物线的解析式；（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与AOC相似?如果存在，请求出对应的t的值;如果不存在，请说明理由.（3）在y轴上有两点M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，请直接写出相应的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.7. 【2014年朝阳区一模】在ABC中，CACB，在AED中， DADE，点D、E分别在CA、AB上（1）如图，若ACBADE90，则CD与BE的数量关系是 ；（2）若ACBADE120，将AED绕点A旋转至如图所示的位置，则CD与BE的数量关系是 ；，（3）若ACBADE2（0 90），将AED绕点A旋转至如图所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含的式子表示)，即BECD.，从而得出结论.8. 【2014年东城区一模】如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想QEP= ；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长ABC是等边三角形，AC=4， 9. 【2014年东城区一模】在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于过点A，B，点C是第一象限内的一点，且AB=AC，ABAC，抛物线经过A，C两点，与轴的另一交点为D.（1）求此抛物线的解析式； （2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数的解析式为. D点坐标为（7,0）.10. 【2014年海淀区一模】阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若ABC=60，如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_；如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_（填“改变”或“不变”）.请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变ABC的大小，折痕EF的长为m （1）如图3，若ABC=120，则六边形AEFCHG的周长为_；（2）如图4，若ABC的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为_ 心O处时相同，故作出图形如图，可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六边形AEFCHG的周长为11. 【2014年怀柔区一模】问题：在ABC中，AB=AC，A=100，BD为B 的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为 .（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出ABC=C=40后，可进一步推出ABD=DBC= 度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.12. 【2014年门头沟区一模】如图，O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作O 的切线，切点为C，连结AC.（1）若CPA=30，求PC的长；（2）若点P在AB的延长线上运动，CPA的平分线交AC于点M. 你认为CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP的大小.MPA=CPO（角平分线的性质），来源:Zxxk.ComCMP=A+MPA=COP+CPO=（COP+CPO）=90=45考点：1.动点问题；2.解直角三角形；3.切线的性质；4. 三角形外角定理；5.圆周角定理13. 【2014年门头沟区一模】已知：在ABC中，ABC=ACB=，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转与过点A且平行于BC边的直线交于点E.（1）如图1，当=60时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；_ （2）如图2，当=45时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；（3）如图3，当为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_（用含的式子表示,其中）BD =DF=BF14. 【2014年密云县一模】如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD，旋转角为（1）当点D恰好落在EF边上时，求旋转角的值；（2）如图2，G为BC中点，且090，求证：GD=ED；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，DCD与CBD能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能说明理由试题分析：（1）根据旋转的性质得CD=CD=2，在RtCED中，CD=2，CE=1，则CDE=300，然后根据方形的性质；7.全等三角形的判定和性质；8.等腰三角形的判定和性质；9.分类思想的应用.15. 【2014年平谷区一模】如图1，在ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED/BC，O为DC中点，连结EO并延长交BC的延长线于点F，则有S四边形EBCD=SEBF.（1）如图2，在已知锐角AOB内有一个定点P过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，MON的面积存在最小值直接写出这个条件:_. （2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4、2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值如图3过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N16. 【2014年平谷区一模】（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF=45，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点如图2，当BAC=60，DAE=30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_；如图3，当BAC=，(090)，DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_【参考：】在AMN和AMN中，AMAM，MANMAN，ANAN，.来源:Z|xx|k.Com，17. 【2014年石景山区一模】在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作AFE=DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G（1）若，则；（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；（3）过点E作EH/CF交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形AFE=DFC，DFC=45. CFH=45. CFG=90.DFC=AFE，DFC=60 . 18. 【2014年顺义区一模】在ABC中，设c为最长边当时，ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，可以判断ABC的形状（按角分类）（1）请你通过画图探究并判断：当ABC三边长分别为6，8，9时，ABC为_三角形；当ABC三边长分别为6，8，11时，ABC为_三角形 （2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当时，ABC为锐角三角形；当时，ABC为钝角三角形” 请你根据小明的猜想完成下面的问题：当，时，最长边c在什么范围内取值时，ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？19. 【2014年通州区一模】问题解决如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30. （1）如图2，固定ABC，将DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时， 设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是_； （2）当DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）如图4，ABC=60，点D在其角平分线上，BD=CD=6，DEAB交BC于点E，若点F在射线BA上，并且，请直接写出相应的BF的长AB交AB于点F.来源:Zxxk.Com20. 【2014年通州区一模】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为. 点P是二次函数图象上A、B两点之间的一个动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点C，作PDAB于点D.（1）求b及sinACP的值；（2）用含m的代数式表示线段PD的长；（3）连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为. 如果存在，直接写出m的值；如果不存在，请说明理由.别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值21. 【2014年通州区一模】已知：等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60至，连接.（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与MF的数量关系是_；（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.MDF=MDD-FDDEDD=EDF-FDD，MDF=EDD.22. 【2014年通州区一模】如图，在平面直角坐标系中，半圆