【导学教程】高考数学专题复习 专题三第3讲 推理与证明课件 .ppt

第3讲推理与证明 1 2012 江西 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 a 28b 76c 123d 199解析观察规律 归纳推理 从给出的式子特点观察可推知 等式右端的值 从第三项开始 后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和 照此规律 则a10 b10 123 答案c 真题感悟 自主学习导引 2 2012 福建 某地区规划道路建设 考虑道路铺设方案 方案设计图中 点表示城市 两点之间连线表示两城市间可铺设道路 连线上数据表示两城市间铺设道路的费用 要求从任一城市都能到达其余各城市 并且铺设道路的总费用最小 例如 在三个城市道路设计中 若城市间可铺设道路的线路图如图 1 则最优设计方案如图 2 此时铺设道路的最小总费用为10 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3 则铺设道路的最小总费用为 解析根据题目中图 3 给出的信息及题意 要求的是铺设道路的最小总费用 且从任一城市都能到达其余各城市 可将图 3 调整为如图所示的结构 线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用 此时铺设道路的总费用为2 3 1 2 3 5 16 答案16 具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求 归纳推理是高考考查的热点 这类题目具有很好的区分度 考查形式一般为选择题或填空题 考题分析 网络构建 高频考点突破 考点一 合情推理 例1 1 2012 武昌模拟 设fk x sin2kx cos2kx x r 利用三角变换 估计fk x 在k 1 2 3时的取值情况 对k n 时推测fk x 的取值范围是 结果用k表示 审题导引 1 由f1 x f2 x f3 x 的取值范围观察规律可得 2 注意发现其中的规律总结出共性加以推广 或将结论类比到其他方面 得出结论 规律总结 归纳推理与类比推理之区别 1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 在进行归纳时 要先根据已知的部分个体 把它们适当变形 找出它们之间的联系 从而归纳出一般结论 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 是两类类似的对象之间的推理 其中一个对象具有某个性质 则另一个对象也具有类似的性质 在进行类比时 要充分考虑已知对象性质的推理过程 然后类比推导类比对象的性质 变式训练 2 平面内有n条直线 其中任何两条都不平行 任何三条不过同一点 试归纳它们的交点个数 考点二 演绎推理 例2 求证 a b c为正实数的充要条件是a b c 0 且ab bc ca 0和abc 0 审题导引 由a b c为正实数 显然易得a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 即 必要性 的证明用直接法易于完成 证明 充分性 时 要综合三个不等式推出a b c是正实数 有些难度 需用反证法 规范解答 1 证必要性 直接证法 因为a b c为正实数 所以a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 所以必要性成立 2 证充分性 反证法 假设a b c不全为正实数 原结论是a b c都是正实数 由于abc 0 则它们只能是二负一正 不妨设a 0 b 0 c 0 又由于ab bc ac 0 a b c bc 0 因为bc 0 所以a b c 0 又a 0 所以b c 0 而a b c 0 所以a b c 0 所以a 0 与a 0的假设矛盾 故假设不成立 原结论成立 即a b c均为正实数 规律总结 1 演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看 演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提 而作出关于该类事物的判断的思维形式 因此是从一般到特殊的推理 数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的 三段论由大前提 小前提和结论三个命题组成 大前提是一个一般性原理 小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形 结论则是大前提和小前提的逻辑结果 2 适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法 适用反证法证明的题型有 1 易导出与已知矛盾的命题 2 否定性命题 3 唯一性命题 4 至少至多型命题 5 一些基本定理 6 必然性命题等 变式训练 考点三 数学归纳法 规律总结 使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确 1 数学归纳法是一种完全归纳法 其中前两步在推理中的作用是 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 二者缺一不可 2 在运用数学归纳法时 要注意起点n 并非一定取1 也可能取0 2等值 要看清题目 3 第二步证明的关键是要运用归纳假设 特别要弄清楚由k到k 1时命题变化的情况 变式训练 名师押题高考 押题1 已知 整数对 按如下规律排成一列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则第60个整数对是a 7 5 b 5 7 c 2 10 d 10 1 答案b 押题依据 能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求 相比较而言 归纳推理是高考的一个热点 本题体现了归纳对推理的思想 需从所给的数对中总结归纳出其规律 进而推导出第60个整数对 题目不难 体现了高考