内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《空间向量及其运算》课件.ppt

第四十四讲空间向量及其运算 走进高考第一关考点关回归教材 1 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系 以空间一点o为原点 建立三条两两垂直的数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系o xyz 其中点o叫做坐标原点 x轴 y轴 z轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为xoy平面 yoz平面 zox平面 2 空间直角坐标系中点的坐标空间任意一点p的坐标可以用有序实数组 x y z 来表示 有序实数组 x y z 叫做点p在此空间直角坐标系中的坐标 其中第一个是x坐标 第二个是y坐标 第三个是z坐标 3 空间两点间的距离公式a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 2 空间向量的有关概念 1 向量 向量是既有大小又有方向的量 与平面向量一样 空间向量有两种表示方法 一种用有向线段表示 a叫作向量的起点 b叫作向量的终点 一种用a b c表示 2 向量的模空间向量的大小叫作向量的长度或模 用 或 a 表示 3 向量的夹角 4 向量 直线 平面直线的方向向量 l是空间一直线 a b是直线l上任意两点 则称为直线l的方向向量 显然与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 平面的法向量 如果直线l垂直于平面 那么把直线l的方向向量a叫作平面 的法向量 所有与直线l平行的非零向量都是平面 的法向量 共面向量 在空间中 如果一个向量所在直线平行于一个平面 则称这个向量平行于该平面 我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量 不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量 3 空间向量的运算律 1 空间向量的加减法结合律 a b c a b c 交换律a b b a空间向量a与一个实数 的乘积是一个向量 记作 a 满足 a a 当 0时 a与a方向相同 当 0时 a与a方向相反 当 0时 a 0 2 空间向量的数乘 运算律 a a r a b a b a a a r r a a r r 4 向量的坐标表示 1 向量的坐标 在给定的空间直角坐标系中 i j k分别为x轴 y轴 z轴正方向上的单位向量 对于空间任意向量a 存在唯一一组有序实数 x y z 使得a xi yj zk 我们把a xi yj zk叫做a的标准正交分解 把i j k叫做标准正交基 x y z 叫做空间向量a的坐标 记作a x y z a x y z 叫做向量a的坐标表示 2 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3使得a 1e1 2e2 3e3 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫做这个空间的一个基底 特别地 当e1 e2 e3两两垂直时 就得到这个向量的一个正交分解 3 空间向量运算的坐标表示a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 a x1 y1 z1 r 5 向量与几何 1 空间向量的长度 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 3 平行与垂直a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 a b为非零向量 考点训练 1 在空间直角坐标系中 以点a 4 1 9 b 10 1 6 c x 4 3 为顶点的 abc是以bc为斜边的等腰直角三角形 则实数x的值为 答案 2 解析 本题是一道立体几何问题 因为 abc是以bc为斜边的 本题主要考查空间向量及其坐标运算 由此可见 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算 解决此类问题的关键是熟练运用公式 2 2009 安徽 在空间直角坐标系中 已知点a 1 0 2 b 1 3 1 点m在y轴上 且m到a与到b的距离相等 则m的坐标是 答案 0 1 0 解析 设m的坐标为 0 y 0 由 ma mb 得 0 1 2 y 0 2 0 2 2 0 1 2 3 y 2 0 1 2 整理得6y 6 0 y 1 即m点坐标为 0 1 0 3 设a 1 5 1 b 2 3 5 若 a b a 3b 则 解析 a 1 5 1 b 2 3 5 a 3b 1 5 1 3 2 3 5 1 5 1 6 9 15 7 4 16 a b 1 5 1 2 3 5 5 2 3 5 2 5 3 5 a b a 3b 答案 a 解析 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 2a b 2x1 x2 2y1 y2 2z1 z2 a 2b x1 2x2 y1 2y2 z1 2z2 解读高考第二关热点关 题型一利用空间向量证明平行与垂直例1正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点f h分别为a1d a1c的中点 1 证明 a1b 平面afc 2 证明 b1h 平面afc 解法一 1 设n x y 1 是平面afc的一个法向量 点评 利用空间向量证明线面平行一般有两种方法 利用直线的方向向量与平面的法向量垂直 利用共面向量基本定理 利用空间向量证明线面垂直一般利用a b 0 证明线与平面内的两条相交直线垂直 变式1 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱bb1和dd1中点 1 求证 平面b1fc1 平面ade 2 若m为dc的中点 证明 d1m 平面ade 解 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体棱长为2 a 2 0 0 b1 2 2 2 e 2 2 1 f 0 0 1 c1 0 2 2 d1 0 0 2 题型二利用空间向量求长度与夹角例2如图 四面体abcd中 o e分别是bd bc的中点 ca cb cd bd 2 ab ad 1 求证 ao 平面bcd 2 求异面直线ab与cd所成角的余弦 3 求ae的长 解 解法一 1 证明 连接oc 如图所示 在 abd中 o为bd的中点 ab ad ao bd 在 bcd中 同理可证co bd 在 aoc中 由已知可得ao 1 co ac 2 ao2 co2 ac2 aoc 90 即ao oc 又ao bd bd oc o ao 平面bcd 2 解 取ac的中点m 连接om me oe 由e为bc的中点 知me ab oe dc 直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角 在 ome中 3 ao 平面bcd oe 面bcd oe ao 解法二 1 同解法1 点评 利用向量的夹角公式可以求两条直线所成的角 利用空间两点间的距离公式 或向量的模的公式可以求线段长 变式2 如右图所示 直三棱柱abc a1b1c1 底面 abc中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 m n分别是a1b1 a1a的中点 1 求bn的长 2 求异面直线ba1与cb1所成角的余弦值 解析 如图所示 以c为原点建立空间直角坐标系c xyz 1 解 依题意得b 0 1 0 n 1 0 1 2 解 依题意得a1 1 0 2 b 0 1 0 c 0 0 0 b1 0 1 2 题型三利用空间向量解决存在性问题例3在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 过a1 c1 b三点的平面截去长方体的一个角后 得到如图所示的几何体abcd a1c1d1 且这个几何体的体积为 1 求棱a1a的长 2 在线段bc1上是否存在点p 使直线a1p与c1d垂直 如果存在 求线段a1p的长 如果不存在 请说明理由 2 在线段bc1上存在点p 使直线a1p与c1d垂直 以下给出两种证明方法 解法一 过点d1作c1d的垂线交c1c于点q 过点q作pq bc交于bc1于点p c1d d1q c1d a1d1 d1q a1d1 d1 c1d 平面a1d1q a1q 平面a1d1q c1d a1q c1d pq c1d 平面a1pq a1p 平面a1pq c1d a1p 在矩形cdd1c1中 rt d1c1q rt c1cd 解法二 以点d为坐标原点 分别以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立如图的空间直角坐标系 由已知条件与 1 可知 c1 0 2 4 a1 2 0 4 d 0 0 0 假设在线段bc1上存在点p x y z 0 x 2 y 2 0 z 4 使直线a1p与c1d垂直 过点p作pq bc交bc于点q 点评 存在性问题是一个难点 按一般方法对空间想象能力的要求较高 利用空间向量 设出点的坐标 再利用位置关系列出方程组去求解 这也体现了将几何问题转化为方程问题的转化思想 变式3 2009 福建 如图 四边形abcd是边长为1的正方形 md 平面abcd nb 平面abcd 且md nb 1 e为bc的中点 1 求异面直线ne与am所成角的余弦值 2 在线段an上是否存在点s 使得es 平面amn 若存在 求线段as的长 若不存在 请说明理由 解 1 如图 以d为坐标原点 建立空间直角坐标系d xyz 依题意 易得d 0 0 0 a 1 0 0 m 0 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 n 1 1 2 假设在线段an上存在点s 使得es 平面amn 笑对高考第三关技巧关 典例如图所示的几何体是以正三角形abc为底面的直棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱 被平面def所截而得 ab 2 bd 1 ce 3 af a t为ab的中点 1 当a 5时 求证 tc 平面def 2 当a为何值时 在de上存在点p 使cp 平面def 解 1 设fd的中点为g 则tg bd 而bd ce 故tg ce 当a 5时 af 5 bd 1 得tg 3 又ce 3 tg ce 四边形tgbc是平行四边形 ct ge tc 平面def 2 如图所示 以t为原点 以射线tb tc tg分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 点评 利用空间向量解几何问题 关键是建立恰当空间直角坐标系 注意结合空间几何的结构特征 去寻找三条两两互相垂直的线作为坐标轴 考向精测 答案 d 2 四棱柱abcd a1b1c1d1的三视图如下 1 求出该四棱柱的表面积 2 求证 d1c ac1 3 设e是dc上一点 试确定e的位置 使d1e 平面a1bd 并说明理由 解 由三视图得 该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形 解法一 1 s s侧 2s底 2 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 连接c1d dc dd1 四边形dcc1d1是正方形 dc1 d1c 又ad dc ad dd1 dc dd1 d ad 平面dcc1d1 d1c 平面dcc1d1 ad d1c ad dc1 平面adc1 且ad dc1 d d1c 平面adc1 又ac1 平面adc1 d1c ac1 3 连接ad1 连接ae 设ad1 a1d m bd ae n 连接mn 平面ad1e 平面a1bd mn 要使d1e 平面a1bd 须使mn d1e 又m是ad1的中点 n是ae的中点 又易知 abn edn ab de 即e是dc的中点 综上所述 当e是dc的中点时 可使d1e 平面a1bd 解法二 1 同解法一 2 以d为原点 da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 则d1 0 0 2 c 0 2 0 a 1 0 0 c1 0 2 2 课时作业 四十四 空间向量及其运算 一 选择题1 设l1的方向向量a 1 2 2 l2的方向向量b 2 3 m 若l1 l2 则m 答案 b 解析 由题意知 a b 0 即 2 6 2m 0 m 2 故选b 2 已知a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 则平面abc的一个单位法向量是 答案 d 3 下列各组向量中 向量a b c共面的一组是 a a 4 2 1 b 1 2 2 c 1 1 5 b a 1 2 3 b 2 4 6 c 1 0 5 c a 0 0 1 b 1 0 0 c 0 1 0 d a 2 3 1 b 3 2 2 c 1 0 2 解析 b中 b 2 4 6 2 1 2 3 2a a b共线 a b c共面 故选b 答案 b 4 已知a 2 1 2 b 2 2 1 则以a b为邻边的平行四边形的面积是 答案 a 答案 b 6 长方体ac1中 aa1 ad 1 ab 2 e为a1b1的中点 则异面直线c1e与a1b所成角的余弦值是 答案 d 解析 如图建立坐标系 则a1 1 0 1 b 1 2 0 c1 0 2 1 e 1 1 1 二 填空题 答案 120 8 同时垂直向量a 2 2 1 b 4 5 3 的单位向量是 9 与a 1 2 3 b 0 0 5 两点距离相等的点满足的条件为 答案 2x 4y 4z 11 0 10 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点m在棱ab上 且am 点p在平面abcd上 且动点p到直线a1d1的距离的平方与p到点m的距离的平方的差为1 在平面直角坐标系xay中 动点p的轨迹是 答案 抛物线 三 解答题11 如图所示 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是d1d bd的中点 g在棱cd上 且cg cd 应用空间向量解决下列问题 1 求证 ef b1c 2 求ef与c1g所成角的余弦值