反比例函数知识点总结及练习题

反比例函数知识点 1反比例函数的定义k一般地，形如y（ k 为常数， k x0 ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是x0的一切实数，函数值的取值范围是y0 ；比例系数k0是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：k y（ k x0 ）， ykx1（ k0 ）， xyk （定值）（ k0 ）；函数ky（ kx0 ）与kx （ ky0 ）是等价的，所以当y 是 x 的反比例函数时， x 也是 y 的反比例函数。k（ k 为常数， k0 ）是反比例函数的一部分，当k=0 时，y ，就不是反比例函数了。x知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式k由于反比例函数y（ k x0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x0，函数值 y0 ，所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质两个分支分别在第一、第 三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。两个分支分别在第二、 第四象限，在每个象限内， y 随x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当k0时， y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，k由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如yx在第一、第三象限，则可知kk0 。反比例函数y（ kx0 ）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点p （ x， y）分别作x 轴、 y 轴的垂线，e 、f 分别为垂足，则kxyxypfpes矩形 oepf反比例函数ykk （ kx0 ）中，k 越大，双曲线yk 越远离坐标原点；k 越小，x双曲线y越靠近坐标原点。x双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y= x。例题【例 1 】如果函数ykx2k 2 k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少？【答案】由反比例函数的定义，得：；知识点二：反比例函数表达式的确定例 3：由欧姆定律可知：电压不变时，电流强度i 与电阻 r 成反比例。已知电压保持不变， 电阻 r=12.5欧姆，电流强度i=0.2 安培。（ 1 ）求 i 与 r 的函数关系式； （ 2）当 r=5 欧姆时，求电流强度。重点一：反比例函数与其他函数的综合应用观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量y（千克）与销售价格x（元 /千克）之间的关系。现假设这批海产品每天的销售量y（千克）与销售价格 x（元 /千克）都满足这一关系。（ 1 ）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（ 2 ）在试销 8 天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150 元/ 千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？练习：1. 已知函数yk 2k2 xk 2k 7是关于 x 的反比例函数，求k 的值。2. 已知定 a（ 1 ， -k+2 ）在双曲线ky上，求常数k 的值。x4 、正比例函数yk1 x k10 与反比例函数yk2k20x的图象交于a、b 两点，点a 坐标为（ 2,1 ） .(1) 求正比例函数、反比例函数的表达式（ 2 ） 求点 b 的坐标。5 、已知 yy1y2 ，y1 与 x 成反比例，y2 与x 2 成正比例， 且当 x=-1 时， y5 ；当 x1时， y1 .求 y 与 x 的函数表达式。6 、已知一次函数ykxb k0 和反比例函数yk的图象交于点a（ 1,1 ），求两2x个函数的解析式。7 、已知正比例函数ykx k0 和反比例函数my的图象交于点（4， 2 ）。x（ 1 ）求两个函数的解析式。（ 2 ）这两个函数图象还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标，若没有，请说明理由。知识点一：反比例函数的图象例 1：反比例函数反比例函数ym23m1 x2的图象在所在象限内，y 随 x 的增大而增大，求反比例函数的解析式。例 2： 在反比例函数y12m x的图像上有a （x1 ,y1 ）， b （ x2 ,y2 ）两点，当x10x2 时，有 y1y2 ，则 m 的取值范围是。知识点二：反比例函数的性质3例 3：设 a（ x1 ,y1 ），b（x2 ,y2 ）反比例函数y的图象上的任意两点，且xy1y2 ，则 x1 ,x2 可能满足的关系是（）a、 x1x20b、 x10x2c 、 x20x1d、x2x10k知识点三：反比例函数yk0 xk中 k 的几何意义说明：在反比例函数yk0 的图象上任取一点，过这一点分别作x 轴、 y 轴的平行xy线，与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量。ak例 3：如图，直线oa 与妇女比例函数yk0 的图象在第一象xobx限内交于点a， ab x 轴于点 b, oab 的面积为2 ，则 k=。练习：如右图，若点a 在反比例函数yk k0 x的图象上， am x 轴于点 m,yoam 的面积为3 ，则 k=。amox重点：反比例函数和一次函数的综合应用例 1：在同一平面直角坐标系中，函数 yaxb 和 yab ab x0 的图象大致是 （）yyyyoxoabxoxoxcd练习：已知ky（）0 ，在同一平面直角坐标系中，函数yyyk x1和 yk 的图象大致是xyoxoxoxoxabcd例 2：已知反比例函数yk 的图象与一次函数xy3xm的图象相交于（1,5 ）。（ 1 ）求这两个函数的解析式；（ 2）求这两个函数的另一个交点的坐标。练习：1 、已知点m（ -2,3 ）在双曲线yk 上，则下列各点一定在双曲线上的是（）xa 、（ 3 ， -2 ）b 、（-2 ， -3 ）c、（ 2 ，3 ）d 、（ 3 ，2 ）k2 、已知，反比例函数yk0 的图象与经过原点的直线l 相交于 a 、b 两点，已知x点 a 的坐标为（ -2,1 ），那么点b 的坐标为。k3 、已知，一次函数y1xm m为常数的图象与反比例函数y2k为常数， k0x的图象相交于a（ 1,3 ）。（ 1 ）求这两个函数的解析式及图象的另一交点b 的坐标；y（ 2 ）观察图象，写出使函数值y1y2 的自变量x 的取值范围。aoxb4 、如图， 在平面直角坐标系中，一次函数ykx1的图象与反比例函数y3的图象在xya第一象限相交于点a 。过点 a 分别作 x 轴、y 轴的垂线， 垂足为 b、c。如果四边形obac是正方形，求一次函数的解析式。反比例函数综合检测题一、选择题 （每小题3 分，共 30 分）a. bcd4 、若 y 与 x 成正比例， x 与 z 成反比例，则y 与 z 之间的关系是（）a 、成正比例b 、成反比例c、不成正比例也不成反比例d、无法确定k5 、一次函数y kx k， y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数y满足（）xa 、当 x 0 时， y 0b 、在每个象限内，y 随 x 的增大而减小c 、图象分布在第一、三象限d、图象分布在第二、四象限y6 、如图，点p 是 x 轴正半轴上一个动点，过点p 作 x 轴的垂线 pq 交双曲线y1于点 q，连结 oq ，点 p 沿 x 轴正方向运动时，xqopxrt qop 的面积（）a 、逐渐增大b 、逐渐减小c、保持不变d 、无法确定7 、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积v 时，气体的密度也随之改变与 v 在一定范围内满足m，它的图象如图所示，则该v气体的质量m 为（）a 、1.4kgb、 5kgc 、6.4kgd、7kg8 、若 a（ 3 ，y 1），b（ 2， y2），c（ 1 ，y 3）三点都在函数y1的图象上，则y 1，xy 2， y 3 的大小关系是（）a 、y 1 y 2 y3b、y1 y2 y 3c 、y1 y 2 y3d、y1 y 3 y 219 、已知反比例函数y2m的图象上有a （ x 1， y 1）、b （ x2， y2 ）两点，当x 1 x 20x时， y1 y2 ，则 m 的取值范围是（）1a 、m 0b、m 0c、m21d、m210 、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于a、b 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（）a 、x 1b、x2c 、 1 x0 或 x2d 、x 1 或 0 x2二、填空题 （每小题3 分，共 30 分）11. 某种灯的使用寿命为1000 小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式为.k12 、已知反比例函数y的图象分布在第二、四象限，则在一次函数xykxb 中， y随 x 的增大而（填“增大”或“减小”或“不）变”b313 、若反比例函数y和一次函数y 3x b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵x坐标为 6，则 b214 、反比例函数y（ m 2） xm10 的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为15 、有一面积为s 的梯形，其上底是下底长的1，若下底长为x，高为 y，则 y 与 x 的函3数关系是16 、如图，点m 是反比例函数ya （ a0）的图象上一点，x过 m 点作 x 轴、 y 轴的平行线，若s 阴影 5，则此反比例函数解析式为217 、使函数 y（ 2m 2 7m 9 ） xm 9m 19 是反比例函数，且图象在每个象限内y 随 x的增大而减小，则可列方程（不等式组）为18 、过双曲线yk（ k 0 ）上任意一点引x 轴和 y 轴的垂线， 所得长方形的面积为 x419.如图，直线y kx(k 0) 与双曲线 y交于 a （ x 1， y 1），xb （ x 2， y 2）两点，则2x 1y 2 7x2 y1 20 、如图，长方形aocb 的两边 oc 、oa 分别位于x 轴、20y 轴上，点b 的坐标为b（，5 ）， d 是 ab 边上的一点，3将ado 沿直线 od 翻折，使 a 点恰好落在对角线ob 上的点 e 处，若点e 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是三、解答题 （共 60 分）21 、（ 8 分）如图， p 是反比例函数图象上的一点，且点p 到 x轴的距离为3 ，到 y 轴的距离为2 ，求这个反比例函数的解析式22 、（ 9 分）请你举出一个生活中能用反比例函数关系描述的实例，写出其函数表达式，并画出函数图象举例：函数表达式：23 、（ 10 分）如图，已知a（ x1 ，y 1），b（x 2， y2 ）是双曲线ykk在第一象限内的分支上x的两点，连结oa 、ob （ 1）试说明y 1 oa y 1；y1（ 2 ）过 b 作 bc x 轴于 c ，当 m 4 时，求boc 的面积24 、（ 10 分）如图， 已知反比例函数y8与一次函数y kx b 的图象交于a、b 两点，x且点 a 的横坐标和点b 的纵坐标都是2求：（ 1 ）一次函数的解析式； （ 2）aob 的面积25 、（ 11 分）如图，一次函数yax b 的图象与反比例函数yk 的图象交于m 、n 两x点（ 1 ）求反比例函数与一次函数的解析式；（ 2 ）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围26 、（12 分）如图， 已知反比例函数yk 的图象与一次函数y ax b 的图象交于m（2，xm）和 n（ 1 ， 4 ）两点（ 1）求这两个函数的解析式；（2）求mon 的面积；（ 3 ）请判断点p（ 4 ，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由参考答案 :一、 1、d 2 、a 3 、c4 、b 5 、d 6 、c 7 、d 8 、 b 9 、d 10 、d 10003s5二、 1 1 、 y x12 、减小13 、514 、 315 、y2 x16 、yxm29m1911217 、2m 27m9 0；18 、|k|；19 、 20 ；20 、yx6三、 21、y x22 、举例：要编织一块面积为2 米 2 的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的函数关系式为yx2（ x 0 ）x1312224y4213（只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可） 画函数图象如右图所示23 、（ 1）过点 a 作 ad x 轴于 d，则 od x 1， ad y 1，因为点a（ x1 ，y1 ）在双曲线yk上，故 x 1xkk，又在 rtoad 中， ad oa ad od ，所以 y1 oa y1 ；y1y1