恒成立能成立问题总结(学生版)

恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决精品资料对于一次函数f ( x)kxb(k0 ), x m, n 有：f ( x)0恒成立k0k0或f (m)0;f ( x)0恒成立f (m)0f (m)0f (n)0f ( n)0f (n)0例 1 若不等式 2 x1mx2m 对满足2m2 的所有 m 都成立，求 x 的范围。练习:(1) 若不等式 ax10 对 x1,2恒成立，求实数a 的取值范围。（ 2 ）对于 0p4 的一切实数， 不等式 x 2px4 xp3 恒成立， 求 x 的取值范围。（答案：或）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数f ( x)ax 2bxc0(a0) 有：（ 1）f ( x)0在xr 上恒成立a0且0；（ 2）f ( x)0在xr 上恒成立a0且0（ 3）当 a0 时，若f (x)0在, 上恒成立b2 a或bb2 a或2 af ()00f ()0f ()0若 f ( x)0在, 上恒成立f ()0（ 4）当 a0时，若f ( x)0在, 上恒成立f ()0f ()0若 f ( x)0在, 上恒成立b2 a或bb2 a或2 af ()00f ()0例 2 若关于 x 的二次 不等式：ax2(a1)xa10 的解集为r ，求 a 的取值范围 .练习： 1、 已知函数 ymx26mxm8 的定义域为r，求实数 m 的取值范围。2 、已知函数f ( x)x22kx2 在(1,) 时 f(x)k 恒成立， 求实数 k的取值范围。 （答案3k1）（三）、利用函数的最值分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量 ， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一： “af (x) ”型一、（恒成立）（ 1 ）xd , f( x)m 恒成立f (x)minm ；（ 2 ）xd, f( x)m 恒成立mf (x) max ；二、（能成立、有解） ：（ 1 ）xd, f( x)m 能成立mf (x)在d内有解f (x)maxm ；（ 2 ）xd, f( x)m 能成立mf ( x)在d 内有解mf ( x) min ；三、（恰成立）（ 1 ）不等式fxa 在区间 d 上恰成立不等式fxa的解集为d ；（ 2 ）不等式fxb 在区间 d 上恰成立不等式fxb 的解集为d .四、（方程有解）方程 mf( x)在某个区间上有解，只需求出f (x) 在区间上的值域a 使 ma 。12 xa 4 x例 3 ：设f ( x)lg, 其中 ar ，如果 x 3(.1) 时，f (x) 恒有意义，求a的取值范围。例 4 ： 若关于 x 的不等式x2axa3 的解集不是空集，则实数a 的取值范围。例 5 不等式kx2k20 有解，求 k 的取值范围。例 6（ 2008 年上海） 已知函数f(x) 2 x12 |x|若不等式2t f(2 t)+m f( t)0 对于 t1,2 恒成立，求实数 m 的取值范围类型二：“fxg ( x) ”型（1）xd, f(x)g( x)恒成立f (x)的图象恒在g( x)的图象的上方f ( x) ming( x)max ( xd)恒成立h(x)f ( x)g(x)0恒成立。例 8 已知 f(x)=lg(x+1) ，g(x)=lg(2x+t)，若当 x 0,1 时， f(x) g(x) 恒成立，求实数t 的取值范围 .类型三：“fx1g( x2 ) ”型 （恒成立和能成立交叉）：（ 1）x1d,x2e, f( x1 )g ( x2 ) 成立f ( x1) ming( x2 )f ( x1 )ming (x2 )f ( x1 )ming (x)min；例 9 已知两个函数f ( x)8 x216xk , g( x)2 x35 x24 x ，其中 k 为实数。（ 1）对任意x3,3，都有f ( x)g(x) 成立，求 k 的取值范围；（ 2）存在 x3,3 ，使f (x)g( x)成立，求 k 的取值范围；（ 3）对任意x1, x23,3，都有f ( x1)g ( x2 ) ，求 k 的取值范围。类型四：例 10 (2005 湖北) 在 y=2 x，y=log 2 x，y=x 2 ，y=cosx 这四个函数中，当0 x1 x2 1 时，使恒成立的函数的个数是()a.0b.1c.2d.3类型六： .“ 0” 型例 11 已知函数f(x) 定义域为 -1,1 ， f(1)=1 ，若 m， n -1,1 ， m+n 0 时，都有，若 f(x) t2-2at+1对所有 x -1,1 ，a -1,1 恒成立，求实数t 的取值范围.类型五： “ |f(x 1) f(x2 )|t(t 为常数 )” 型例 12 已知函数f(x)=-x 4+2x 3 ，则对任意t1，t 2 -,2(t 1 t2)都有|f(x 1)-f(x 2 )| 恒成立，当且仅当t1= ， t 2= 时取等号 .（四）数形结合法1） ） f(x)g( x)函数 f(x)图象恒在函数g( x)图象上方；2） ） f(x)g(x)函数 f(x) 图象恒在函数g( x) 图象下上方。例 13已知 a0, a1, f(x)x2a x,当x(1,1)时, 有f( x)1恒成立2，求实数a的取值范围例 14设f (x)x 24x,g( x)4x1a ,若恒有3f (x)g (x) 成立 ,求实数 a的取值范围 .练习：1 若对任意 xr,不等式xax 恒成立，求实数a 的取值范围。1a12 已知二次函数满足f (0)1，而且f (x1)f ( x)2 x ，请解决下列问题（ 1）求二次函数的解析式。f ( x)x2x1（ 2）若 f (x)2 xm 在区间 1,1上恒成立，求 m 的取值范围。(,1)（ 3）若f ( x)2 xm 在区间 1,1上恒成立，求 m 的取值范围。1,5（ 4）若f ( x)2 xm 在区间 1,1上有解，求 m 的取值范围。(,5)123、x(