2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.1圆的方程（第1课时）圆的标准方程讲义苏教版必修2.docx

第1课时圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点、难点)2.会根据已知条件求圆的标准方程(重点)3.能准确判断点与圆的位置关系(易错点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和直观想象核心素养.1圆的定义及标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径(2)圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心(0，0)(a，b)半径r(r0)r(r0)标准方程x2y2r2(xa)2(yb)2r2备注确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr1.思考辨析(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径()(3)圆(x1)2(y2)24的圆心坐标是(1，2)，半径是4.()(4)点(0，0)在圆(x1)2(y2)21上()答案(1)(2)(3)(4)2圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是_答案(2，3)，3若点P(1，)在圆x2y2m2上，则实数m_2或2把点P(1，)代入x2y2m2，得13m2，m2或2.求圆的标准方程【例1】求下列各圆的标准方程(1)圆心为点C(8，3)，且经过点P(5，1)；(2)以P1(1，2)，P2(3，4)为直径的端点；(3)与x轴相交于A(1，0)，B(5，0)两点且半径为.思路探究：(1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解解(1)由题意可知，圆的半径rPC5，所以圆的标准方程为(x8)2(y3)225.(2)由题意可知，P1，P2的中点P的坐标为(1，3)又P1P22，所以圆的半径为P1P2.即所求圆的标准方程为(x1)2(y3)25.(3)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)25.因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：解得或所以圆的标准方程是(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.法二：由于A，B两点在圆上，所以线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x3上，于是可以设圆心为C(3，b)，又由AC，得 ，解得b1或b1，所以圆的标准方程为(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.求圆的标准方程的常用方法(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a，b，r，根据题目条件列出a，b，r的方程组求解，代数法体现了方程思想(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想1已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(3，3)，且圆心C在直线l：xy50上求圆C的标准方程解法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得圆的标准方程为(x3)2(y2)225.法二：因为A(0，2)，B(3，3)，所以线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB，故线段AB的垂直平分线方程是y3，即3xy70.由得所以圆心C的坐标为(3，2)圆的半径rAC5，所以圆C的标准方程为(x3)2(y2)225.圆的方程的实际应用【例2】如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m时，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数)思路探究：由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度解以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)设圆的方程为x2(yr)2r2，将A(6，2)代入方程，得r10，圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1 m后，可设点A(x0，3)(x00)如图所示，将A(x0，3)代入圆的方程，求得x0，水面下降1 m，水面宽为2x0214.28(m)本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解2已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？解如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2y216(y0)，将x3代入得y33.5，即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道点与圆的位置关系探究问题1点(1，1)是否在圆(x1)2y22上？提示点(1，1)不在圆(x1)2y22上，因为将点(1，1)代入圆的方程左边得(11)21212.2在探究1中，点(1，1)与圆(x1)2y22是什么关系？提示点(1，1)在圆内3如何判断点(m，n)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系？提示将点A(m，n)代入方程左边，若(ma)2(nb)2r2，点A在圆上；若(ma)2(nb)2r2，点A在圆外【例3】已知圆C的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围思路探究：(1)点在圆上，满足圆的方程求得a值(2)点在圆内(外)，则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径，求a的范围解(1)点M(6，9)在圆上，(65)2(96)2a2，即a210.又a0，a.(2)PC，QC3，PCQC，故点P在圆外，点Q在圆内，3a.判断点与圆的三种位置关系有两种方法：(1)将所给的点M到圆心C的距离与半径r比较：若CMr，则点M在圆上；若CMr，则点M在圆外；若CMr，则点M在圆内(2)可用圆的标准方程来确定点M(m，n)在圆C上(ma)2(nb)2r2；点M(m，n)在圆C外(ma)2(nb)2r2；点M(m，n)在圆C内(ma)2(nb)2r2.3已知两点M(3，8)和N(5，2)(1)求以MN为直径的圆C的方程；(2)试判断P1(2，8)，P2(3，2)，P3(6，7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)法一：设圆心C(a，b)，半径r，则由C为MN的中点得a4，b5，由两点间的距离公式得rCM.所求圆的方程为(x4)2(y5)210.法二：直径所对的圆周角是直角，对于圆上除M，N外任意一点P(x，y)，有PMPN，即kPMkPN1，1(x3且x5)化简得x2y28x10y310，即(x4)2(y5)210.又M(3，8)，N(5，2)的坐标满足方程，所求圆的方程为(x4)2(y5)210.(2)分别计算点到圆心的距离CP1，CP2，CP3 ，因此，点P2在圆上，点P1在圆外，点P3在圆内1本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点是根据所给条件求圆的标准方程2本节课要重点掌握的规律方法(1)求圆的标准方程的方法(2)判断点与圆的位置关系的方法(3)求与圆有关的最值的方法3本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解1已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点P(3，2)与圆的位置关系是()A在圆内B在圆上C在圆外D是圆心A(32)2(23)224.P点在圆内2圆心在第二象限，半径为1，并且与x，y轴都相切的圆的方程为_(x1)2(y1)21由条件知，|a|b|r1.圆心在第二象限，a1，b1，所求的方程为(x1)2(y1)21.3与圆(x2)2(y3)216同圆心且过点P(1，1)的圆的方程是_(x2)2(y3)225由题意，设所求圆的方程为(x2)2(y3)2r2，则有(12)2(13)2r2，即r225，故所求