高中数学 2.5《简单的幂函数》课件（2） 北师大版必修1.ppt

5简单的幂函数 若二次函数的图象经过点 0 1 对称轴为x 2 最小值为 1 求该函数的解析式 1 幂函数的定义形如y x 其中底数x为 指数 为 的函数叫幂函数 2 函数的奇偶性已知y f x x a 则f x 奇偶性定义见下表 原点 f x f x f x f x 自变量 常量 2 若奇函数f x 在x 0处有意义 则f 0 是什么 提示 由奇函数定义 f x f x 则f 0 f 0 f 0 0 幂函数的概念 思路点拨 依据幂函数的定义进行判断 答案 c 幂函数y x 要满足三个特征 1 幂x 前系数为1 2 底数只能是自变量x 指数是常数 3 项数只有一项 只有满足这三个特征 才是幂函数 解析 根据幂函数的定义 知 幂函数的图象与性质 思路点拨 由幂函数的定义 求出f x 与g x 的解析式 再利用图象判断即可 解决有关幂函数问题的关键是会定性分析中 p q为正 负 奇 偶等各种情况的大体图象 要从函数的奇偶性 单调性出发对函数进行探讨 重点要研究在第一象限内的各种情况 注意 所有幂函数在第一象限内均有图象 且过点 1 1 0 则为递增 0 则为递减 2 用描点法画出 y x y x2 y x3 y x 1的图象并指出其特点 解析 1 图象如下图所示 2 观察上面的函数图象会发现以下特征 图象都过点 1 1 在第一象限内函数y x y x2 y x3 的图象自左向右看都是上升的 也就是在 0 上都是增函数 且这几种函数的图象都过原点 函数y x 1的图象在第一象限内自左向右看是下降的 即y x 1在 0 上是减函数 y x y x3 y x 1的图象关于原点对称 它们是奇函数 而y x2的图象关于y轴对称 它是偶函数 图象只在第一象限内 含原点 它是非奇非偶函数 函数奇偶性的判断 判断下列函数是否具有奇偶性 思路点拨 解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称 然后再验证f x 与f x 之间的关系来确定奇偶性 解析 1 函数定义域为 x x 0 f x x x f x f x f x 函数f x x 是奇函数 2 函数f x 的定义域为 3 3 关于原点对称 f x x 2 1 x2 1 f x f x f x 函数f x x2 1 x 3 3 是偶函数 3 函数f x 的定义域为 x x 3 定义域不关于原点对称 函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 4 函数f x 的定义域为 x x 2 此时函数f x 0f x f x 且f x f x 函数f x 既是奇函数又是偶函数 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 1 定义法 若函数定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 若函数定义域关于原点对称 则应进一步判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于0 从而确定奇偶性 2 图象法 若函数图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数图象关于y轴对称 则函数为偶函数 3 判断下列函数是奇函数还是偶函数 1 f x x 2 f x 2 3 f x x 2 x 2 解析 方法一 函数的定义域是 x x r且x 0 所以关于原点对称 又f x x x f x 所以函数f x x 是奇函数 方法二 y x y 都是 x x r且x 0 上的奇函数 f x x 是奇函数 2 函数的定义域是 x x r 且x 0 其定义域关于原点对称 又对任意的x r且x 0都有f x 2 2 f x f x 2是偶函数 3 x r f x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f x f x 是奇函数 已知函数f x 为定义域为r的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 1 求出函数f x 在r上的解析式 2 画出函数f x 的图象 思路点拨 解析 1 由于函数f x 为定义域为r的奇函数 则f 0 0 当x 0时 x 0 f x 是奇函数 f x f x f x f x x 2 2 x x2 2x 2 图象如图 综上 f x 给出奇函数 或偶函数 在直角坐标平面内的某个半平面上的图象 要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇 偶函数图象的对称性 其过程是作出原图象几个关键点 图象的最高点 最低点等 关于原点或y轴的对称点 然后按原图象的特征用平滑曲线连结这些点 就作出了在另外半个平面的图象 4 1 如图 1 给出奇函数y f x 的局部图象 试作出y轴右侧的图象并求出f 3 的值 2 如图 2 给出偶函数y f x 的局部图象 比较f 1 与f 3 的大小 并试作出它的y轴右侧的图象 解析 1 奇函数y f x 在y轴左侧图象上任一点p x f x 关于原点的对称点p x f x 图为补充后的图象 易知f 3 2 2 偶函数y f x 在y轴左侧图象上任一点p x f x 关于y轴的对称点p x f x 图为补充后的图象 易知f 1 f 3 1 对幂函数概念的理解 1 幂的底数是自变量 幂的指数是一个常数 可以取任意实数 2 幂前面的系数必须为1 且为单项式 否则不是幂函数 如 y 2x y 2 x y x 2等都不是幂函数 2 幂函数的性质 1 所有的幂函数在 0 上都有定义 并且图象都通过点 1 1 幂函数图象不过第四象限 2 0时 幂函数的图象都通过点 0 0 1 1 并且在 0 上都是增函数 3 0时 幂函数的图象都通过点 1 1 在 0 上都是减函数 在第一象限内 函数图象向上与y轴无限接近 向右与x轴无限接近 3 准确理解函数奇偶性定义 1 偶函数 奇函数 的定义中 对d内任意一个x 都有 x d 且f x f x f x f x 这表明f x 与f x 都有意义 即x x同时属于定义域 因此偶 奇 函数的定义域是关于坐标原点对称的 也就是说 定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 存在既是奇函数又是偶函数的函数 即f x 0 x d 这里定义域d是关于坐标原点对称的非空数集 2 函数按奇偶性可以分为四类 奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数 下面四个结论 1 偶函数的图象一定和y轴相交 2 奇函数的图象一定通过原点 3 偶函数的图象一定关于y轴对称 4 既是奇函数又是偶函数的函数一定是f x 0 x r 其中正确的命题是 错解 2 3 错因 一个函数为偶数 它不一定在x 0处有定义 所以 1 不对 只有在x 0处有定义的奇函数 它的图象才一定通过原点 所以 2 不对 函数f x 0 x 1 1 函数f x 0 x 2 2 都既是奇函数又是偶函数 所以 4 也不对 正解 3 1 下列函数中是幂函数的是 a y 3x2b y 2xc y x 1 1d y x3 14 答案 d 2 函数f x x2 x 0 的奇偶性是 a 奇函数b 偶函数c 非奇非偶函数d 既是奇函数 又是偶函数 答案 c 3 已知幂函数f x x 的部分对应值如表 则f 8 答案 2 4 判断下列函数是否具有奇偶性 1 f x x 1 2 f x x2 3x x 4 4 3 f x x2 1 x 6 2 2 6 解析 1 函数f x x 1的定义域为实数集r 当x r时 x r 因为f x x 1 x 1 f x x 1 即f x f x f x f x 所以函数f x x 1既不是奇函数又不是偶函数