2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位,i607的共轭复数为() A.iB.-iC.1D.-12.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)5.设a1,a2,anR,n3.若p:a1,a2,an成等比数列;q:(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.已知符号函数sgn x=1,x0,0,x=0,-1,x1),则()A.sgng(x)=sgn xB.sgng(x)=-sgn xC.sgng(x)=sgnf(x)D.sgng(x)=-sgnf(x)7.在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“|x-y|12”的概率,p3为事件“xy12”的概率,则()A.p1p2p3B.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p20)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae29.已知集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为()A.77B.49C.45D.3010.设xR,x表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得t=1,t2=2,tn=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6第卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.(一)必考题(1114题)11.已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.12.函数f(x)=4cos2x2cos2-x-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.14.如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.()圆C的标准方程为;()过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:|NA|NB|=|MA|MB|;|NB|NA|-|MA|MB|=2;|NB|NA|+|MA|MB|=22.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(选修41:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则ABAC=.16.(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为x=t-1t,y=t+1t(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.()求数列an,bn的通项公式;()当d1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于点F,连结DE,DF,BD,BE.()证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;()若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3,求DCBC的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.()求Z的分布列和均值;()若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.()求曲线C的方程;()设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图222.(本小题满分14分)已知数列an的各项均为正数,bn=n1+1nnan(nN+),e为自然对数的底数.()求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较1+1nn与e的大小;()计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1b2bna1a2an的公式,并给出证明;()令cn=(a1a2an)1n,数列an,cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:TneSn.答案一、选择题1.Ai607=i4151+3=(i4)151i3=-i,i607的共轭复数为i.2.B282541 534169,这批米内夹谷约为169石.3.D(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为Cn3,Cn7,Cn3=Cn7,得n=10.从而有C100+C101+C102+C103+C1010=210,又C100+C102+C1010=C101+C103+C109,奇数项的二项式系数和为C100+C102+C1010=29.评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.4.C由题图可知102,12,P(Y2)P(X1),故B错;当t为任意正数时,由题图可知P(Xt)P(Yt),而P(Xt)=1-P(Xt),P(Yt)=1-P(Yt),P(Xt)P(Yt),故C正确,D错.5.A若a1,a2,an成等比数列,设其公比为q,当q=1时,(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(n-1)a12(n-1)a12=(n-1)2a14,而(a1a2+a2a3+an-1an)2=(n-1)a122=(n-1)2a14,(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2.当q1时,(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=a12(1-q2n-2)1-q2a22(1-q2n-2)1-q2=a14q2(1-q2n-2)2(1-q2)2,(a1a2+a2a3+an-1an)2=a1a2(1-q2n-2)1-q22=a14q2(1-q2n-2)2(1-q2)2,(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2,即p是q的充分条件.当a1=1,an=0(n2,nN*)时,有(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2,但a1,a2,a3,an不成等比数列,即p不是q的必要条件,故选A.6.Bf(x)是R上的增函数,a1,当x0时,xax,有f(x)f(ax),则g(x)0;当x=0时,g(x)=0;当xax,有f(x)f(ax),则g(x)0.sgng(x)=1,x0,sgng(x)=-sgn x,故选B.7.B依题意知点(x,y)形成的区域是边长为1的正方形及其内部,其面积为S=1.而满足x+y12的区域如图1中的阴影部分,图1其面积为S1=1-121212=78,p1=S1S=78.满足|x-y|12的区域如图2中的阴影部分,图2其面积为S2=1-121212-121212=34,p2=S2S=34.满足xy12的区域如图3中的阴影部分,图3其面积为S3=121+121 12xdx=12+12ln x121=12+12ln 2,p3=S3S=12+12ln 2.p1-p3=38-12ln 2=3-4ln28=18lne316,而e316,p1-p30,即p1p3.而p2-p3=14-12ln 2=14lne40,p2p3p2.评析本题考查几何概型概率的求解,不等式形成的区域面积的计算,定积分等知识,考查推理运算能力和化归与转化思想.8.D依题意有e1=a2+b2a=1+ba2,e2=(a+m)2+(b+m)2a+m=1+b+ma+m2.而ba-b+ma+m=(b-a)ma(a+m),a0,b0,m0,当ab时,bab+ma+m,有e1e2;当ab+ma+m,有e1e2.故选D.9.C当x1=0时,y1-1,0,1,而x2,y2-2,-1,0,1,2,此时x1+x2-2,-1,0,1,2,y1+y2-3,-2,-1,0,1,2,3,则AB中元素的个数为57=35.当x1=1时,y1=0,而x2,y2-2,-1,0,1,2,此时x1+x2-3,-2,-1,0,1,2,3,y1+y2-2,-1,0,1,2.由于x1+x2-2,-1,0,1,2,y1+y2-2,-1,0,1,2时,AB中的元素与前面重复,故此时与前面不重复的元素个数为25=10,则AB中元素的个数为35+10=45.10.B若n=3,则1t2,2t23,3t34,即1t664,8t627,9t616,得9t616,即当33t34时,有t=1,t2=2,t3=3,n=3符合题意.若n=4,则33t34,4t45,即34t1244,43t1253,得34t1253,即当33t45时,有t=1,t2=2,t3=3,t4=4,故n=4符合题意.若n=5,则33t45,5t56,即33t45,55t56, 6335,56-1,函数f(x)的零点个数即为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|(x-1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象,如图,可知有两个交点,则f(x)有两个零点.13.答案1006解析依题意有AB=600,CAB=30,CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB.ACB=45,在ABC中,由ABsinACB=CBsinCAB,得600sin45=CBsin30,有CB=3002,在RtBCD中,CD=CBtan 30=1006,则此山的高度CD=1006 m.14.答案()(x-1)2+(y-2)2=2()解析()设圆心C(a,b),半径为r,圆C与x轴相切于点T(1,0),a=1,r=|b|,又圆C与y轴正半轴交于两点,b0,则b=r.|AB|=2,2=2r2-1,r=2,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.()设N(x,y),而A(0,2-1),B(0,2+1),则|NB|2|NA|2=x2+(y-2-1)2x2+(y-2+1)2=x2+y2-2(2+1)y+3+22x2+y2-2(2-1)y+3-22,又x2+y2=1,|NB|2|NA|2=4+22-2(2+1)y4-22-2(2-1)y=2+12-122-2y22-2y=(2+1)2,|NB|NA|=2+1,同理,|MB|MA|=2+1.|NA|NB|=|MA|MB|,且|NB|NA|-|MA|MB|=2+1-12+1=2,|NB|NA|+|MA|MB|=2+1+12+1=2+1+2-1=22,故正确结论的序号是.15.答案12解析由切割线定理得PA2=PBPC,BC=3PB,PC=4PB,则PA2=4PB2,PA=2PB.又PAB=PCA,APB=CPA,PABPCA,则ABAC=PBPA=12.16.答案25解析直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4.由y=3x,y2-x2=4得x2=12,即x=22,则|AB|=1+kAB2|xA-xB|=1+322=25.三、解答题17.解析()根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- 6.数据补全如下表:x+02322x123712561312Asin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-6.()由()知 f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-6=k,解得x=k2+12-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0成中心对称,令k2+12-=512,解得=k2-3,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值6.18.解析()由题意有,10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1或an=19(2n+79),bn=929n-1.()由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是Tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1, 12Tn=12+322+523+724+925+2n-12n. -可得12Tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.19.解析解法一:()因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD,而DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.而PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEF=E,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.()如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由()知,PB平面DEF,所以PBDG.又因为PD底面ABCD,所以PDDG.而PDPB=P,所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=,有BD=1+2,在RtPDB中,由DFPB,得DPF=FDB=3,则tan3=tanDPF=BDPD=1+2=3,解得=2.所以DCBC=1=22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时,DCBC=22.解法二:()如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(,1,0),C(0,1,0),PB=(,1,-1),点E是PC的中点,所以E0,12,12,DE=0,12,12,于是PBDE=0,即PBDE.又已知EFPB,而DEEF=E,所以PB平面DEF.因PC=(0,1,-1),DEPC=0,则DEPC,所以DE平面PBC.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.()由PD平面ABCD,所以DP=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量;由()知,PB平面DEF,所以BP=(-,-1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3,则cos3=BPDP|BP|DP|=12+2=12,解得=2,所以DCBC=1=22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时,DCBC=22.20.解析()设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有2x+1.5yW,x+1.5y12,2x-y0,x0,y0.(1)目标函数为z=1 000x+1 200y.当W=12时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).当z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160.当W=15时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=3,y=6时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200.当W=18时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=6,y=4时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=61 000+41 200=10 800.故最大获利Z的分布列为Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.()由()知,一天最大获利超过10 000元的概率p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.评析本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.21.解析()设点D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,MD=2DN,且|DN|=|ON|=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且(x0-t)2+y02=1,x02+y02=1.即t-x=2x0-2t,y=-2y0,且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=x4,y0=-y2,代入x02+y02=1,可得x216+y24=1,即所求的曲线C的方程为x216+y24=1.()(1)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有SOPQ=1244=8.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+mk12,由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4. 又由y=kx+m,x-2y=0,可得P2m1-2k,m1-2k;同理可得Q-2m1+2k,m1+2k.由原点O到直线PQ的距离为d=|m|1+k2和|PQ|=1+k2|xP-xQ|,可得SOPQ=12|PQ|d=12|m|x