2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案新人教A版.docx

22.1条件概率1.通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义2.掌握求条件概率的两种方法3利用条件概率公式解决一些简单的问题,1条件概率条件设A，B为两个事件，且P(A)0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率计算公式事件个数法：P(B|A)定义法：P(B|A)2.条件概率的性质(1)P(B|A)0，1(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)注意(1)前提条件：P(A)0.(2)P(BC|A)P(B|A)P(C|A)，必须B与C互斥，并且都是在同一个条件A下 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)1.()(2)P(B|A)与P(A|B)不同()答案：(1)(2) 已知P(AB)，P(A)，则P(B|A)为()A.B.C.D.答案：B 由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A表示“第二位数字为0”，用事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)等于()A. B. C. D.答案：A 一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每次取出后不放回，则若已知第一次取出的是好的，则第二次取出的也是好的概率为_答案：探究点1利用定义求条件概率甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？【解】设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，根据题意，得P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12.(1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是P(A|B).(2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是P(B|A).利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生 如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”，则P(A)_，P(B|A)_解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积Sr2，正方形EFGH的面积为2，所以P(A).P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形EFGH中，则豆子落在扇形HOE(阴影部分)”的概率，所以P(B|A).答案：探究点2缩小基本事件范围求条件概率集合A1，2，3，4，5，6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率【解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P.1变问法本例条件不变，求乙抽到偶数的概率解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P.2变条件若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)解：甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个所以P(B|A).利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的 一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，作不放回抽取设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)解：将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A).探究点3条件概率性质的应用在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率【解】设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C，则P(A)，P(AB)，P(AC).所以P(B|A)，P(C|A).所以P(BC|A)P(B|A)P(C|A).所以所求的条件概率为.利用条件概率性质的解题策略(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率 外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B，第二个盒子中有红球和白球各5个，第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验为成功求试验成功的概率解：设A从第一个盒子中取得标有字母A的球，B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球，则P(A)，P(B)，所以P(R|A)，P(W|A)，P(R|B)，P(W|B)，所以P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)0.59.1已知P(B|A)，P(A)，则P(AB)等于()A.B.C. D.解析：选C.P(AB)P(B|A)P(A)，故选C.2甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A. B.C. D.解析：选C.由题意可知n(B)C2212，n(AB)A6.所以P(A|B).3考虑恰有两个小孩的家庭(1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；(2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)解：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)设B“有男孩”，则B(男，男)，(男，女)，(女，男)A“有两个男孩”，则A(男，男)，B1“第一个是男孩”，则B1(男，男)，(男，女)，于是得(1)P(B)，P(BA)P(A)，所以P(A|B)；(2)P(B1)，P(B1A)P(A)，所以P(A|B1). 知识结构深化拓展1.对条件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)P(B|A)；(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A).2两个区别(1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率(2)P(B|A)与P(B)：在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等., A基础达标1已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()A0.6 B0.7C0.8 D0.9解析：选C.设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)0.5，P(AB)0.4，则P(B|A)0.8.2(2018西安高二检测)7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A. B.C. D.解析：选C.记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)A，n(AB)A，P(B|A).3(2018洛阳高二检测)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第一次取得一等品的条件下，第二次取得的是二等品的概率是()A. B.C. D.解析：选A.设事件A表示“第一次取得的是一等品”，B表示“第二次取得的是二等品”则P(AB)，P(A).由条件概率公式知P(B|A).4在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若Ax|0x，Bx|x，则P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：选A.P(A).因为ABx|x，所以P(AB)，所以P(B|A).5(2018四川广安期末)甲、乙两人从1，2，15这15个数中，依次任取一个数(不放回)，则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是()A. B.C. D.解析：选D.设事件A“甲取到的数是5的倍数”，B“甲所取的数大于乙所取的数”，又因为本题为古典概型概率问题，所以根据条件概率可知，P(B|A).故选D.6已知P(A)0.4，P(B)0.5，P(A|B)0.6，则P(B|A)为_解析：因为P(A|B)，所以P(AB)0.3.所以P(B|A)0.75.答案：0.757抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两骰子点数之和大于8的概率为_解析：令A“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B“两骰子点数之和大于8”，则A(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，AB(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)所以P(B|A).答案：8从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率是_解析：设“第1次抽到A”为事件A，“第2次也抽到A”为事件B，则AB表示两次都抽到A，P(A)，P(AB)，所以P(B|A).答案：9(2018福建厦门六中高二下学期期中)一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干，其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个从袋子中任取2个小球，取到标号都是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中任取2个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率解：(1)由题意得，解得n2(负值舍去)所以n2.(2)记“一个的标号是1”为事件A，“另一个的标号也是1”为事件B，所以P(B|A).10已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率解：设“任选一人是男人”为事件A；“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)P(C)P(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B).(2)P(A|C).B能力提升11先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1，2，3，4，5，6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且xy”，则概率P(B|A)的值为()A. B.C. D.解析：选B.根据题意，事件A为“xy为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有23318个基本事件所以事件A发生的概率为P(A)，而A，B同时发生，基本事件有“24”“26”“42”“46”“62”“64”，一共有6个基本事件，所以事件A，B同时发生的概率为P(AB)，所以P(B|A).12从1100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为_解析：设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”则P(C)，且所求概率为P(AB|C)P(A|C)P(B|C)P(AB|C)2().答案：13一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有43种结果，所以P(A)，P(AB)，所以P(B|A).所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)，P(A1B1)，所以P(B1|A1).所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概