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组合与组合数公式 二 1 2 一 组合的定义二 组合数公式 复习 3 例 4 写出从a b c d四个元素中任取三个元素的所有组合 a abc abd acd bcd 5 abcabdacdbcd dcba 从4个不同元素中每次取出3个的一个组合 和剩下的 4 3 个元素的组合是一一对应的 6 推广 从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合 与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应 所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数 即 7 组合数的两个性质 8 3 性质1的应用 1 当m 时 利用这个公式 可使的计算简化 如 2 当m n时 有所以规定 9 1 课本101例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 解 1 性质2 10 我们可以这样解释 从口袋内的8个球中所取出的3个球 可以分为两类 一类含有1个黑球 一类不含有黑球 因此根据分类计数原理 上述等式成立 我们发现 为什么呢 11 12 推广 从这n 1个不同的元素中 取出m个元素的组合数 这些组合可以分成两类 一类含 一类不含 含的组合是从这n个不同元素中取出m 1个元素的组合数为 不含的组合是从这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为 再由加法原理 得 性质2 13 14 注 1 公式特征 下标相同而上标差1的两个组合数之和 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用 恒等变形 简化运算 在今后学习 二项式定理 时 我们会看到它的主要应用 15 例 计算 16 例2求证 证明 17 计算 求证 解方程 解方程 计算 推广 练习 18 例3平面内有12个点 任何3点不在同一直线上 以每3点为顶点画一个三角形 一共可画多少个三角形 答 一共可画220个三角形 19 思考交流 1 从9名学生中选出3人做值日 有多少种不同的选法 2 有5本不同的书 某人要从中借2本 有多少种不同的借法 20 例4有13个队参加篮球赛 比赛时先分成两组 第一组7个队 第二组6个队 各组都进行单循环赛 即每队都要与本组其它各队比赛一场 然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军 亚军 共需要比赛多少场 21 例5在产品检验时 常从产品中抽出一部分进行检查 现在从100件产品中任意抽出3件 1 一共有多少种不同的抽法 2 如果100件产品中有2件次品 抽出的3件中恰好有1
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